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 Norm einer Summe von Matrizen |
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Huhoha
Aktiv 
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Hallo,
ich beschäftige mich gerade mit der linearen Abbildung $\phi: \mathbb{R}^n \mapsto \mathbb{R}^n$
$$ \phi(x) = (I - A)x, $$
wobei $A \in \mathbb{R}^{n\times n}$ eine (nicht symmetrische) Matrix und $I$ die Einheitsmatrix ist.
Damit die Abbildung eine Kontraktion ist, muss ja gelten, dass
$$ \Vert (I - A) \Vert < 1.$$
Muss, damit die obere Bedingung erfüllt sein kann, die Matrix $A$ positiv definit sein? Scheint mir irgendwie plausibel zu sein, aber erklären kann ich mir das nicht. Über die Eigenwerte (und 2-Norm) könnte ich ja nur argumentieren, wenn $A$ symmetrisch wäre. Und außerdem haben ja die Eigenwerte einer Summe von Matrizen erstmal nichts mit den Eigenwerten der Summanden zu tun. Liege ich da auf den falschen Pfad?
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ochen
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 |      Beitrag No.1, eingetragen 2020-12-01
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Hallo,
wenn $\lambda$ ein Eigenwert von $A$ ist, so ist $1-\lambda$ ein Eigenwert von $I-A$. Zeige dies. Dazu brauchst du nur die Definition von Eigenvektor und Eigenwert.
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zippy
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 | Beitrag No.2, eingetragen 2020-12-01
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2020-12-01 18:37 - ochen in Beitrag No. 1 schreibt:
wenn $\lambda$ ein Eigenwert von $A$ ist, so ist $1-\lambda$ ein Eigenwert von $I-A$. Zeige dies.
Dass dieses Argument nur für ein symmetrisches $A$ weiterhilft, hatte Huhoha doch schon angesprochen.
$A=\begin{pmatrix}1&\frac12\\-\frac12&1\end{pmatrix}$ ist ein Beispiel einer nicht positiv definiten Matrix mit $\|1-A\|<1$.
--zippy
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Huhoha
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| Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2020-12-01
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2020-12-01 18:37 - ochen in Beitrag No. 1 schreibt:
Hallo,
wenn $\lambda$ ein Eigenwert von $A$ ist, so ist $1-\lambda$ ein Eigenwert von $I-A$. Zeige dies. Dazu brauchst du nur die Definition von Eigenvektor und Eigenwert.
klar, stimmt! Ich weiß nicht, wie ich so blind war. Vielen Dank für den Tipp!
Dies gilt aber ja nur, weil $x$ immer Eigenvektor von $I$ ist mit Eigenwert 1. Weiter gedacht heißt es ja: Der Eigenwert einer Summe aus Matrizen ist die Summe der jeweiligen Eigenwerte, genau dann wenn die Matrizen den gleichen Eigenvektor haben. Oder?
Danke!
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.1 begonnen.]
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Huhoha
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| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-12-01
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2020-12-01 20:20 - zippy in Beitrag No. 2 schreibt:
2020-12-01 18:37 - ochen in Beitrag No. 1 schreibt:
wenn $\lambda$ ein Eigenwert von $A$ ist, so ist $1-\lambda$ ein Eigenwert von $I-A$. Zeige dies.
Dass dieses Argument nur für ein symmetrisches $A$ weiterhilft, hatte Huhoha doch schon angesprochen.
--zippy
Wieso ist die Matrix nicht positiv definit? Einen postiven realteil haben die Eigenwerte ja schon. Der muss ja auf jeden Fall da sein, damit die Subtraktion zu einen Eigenwert kleiner als eins führen kann. Sonst ist ja der Spektralradius schon $>1$ und somit auch jede Norm.
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zippy
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| Beitrag No.5, eingetragen 2020-12-01
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2020-12-01 22:43 - Huhoha in Beitrag No. 4 schreibt:
Wieso ist die Matrix nicht positiv definit?
Eine relle Matrix $A$ ist positiv definit, wenn sie symmetrisch ist und wenn $x^TA\,x>0$ für alle $x\ne0$ ist. Äquivalent dazu ist, dass $A$ orthogonal diagonalisierbar ist und dass alle Eigenwerte positiv sind.
Das $A$ aus meinem Beispiel hat diese Eigenschaften nicht. Allerdings ist der Realteil von $A$, also $\frac12(A^T+A)$, postiv definit.
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Huhoha
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| Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2020-12-01
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2020-12-01 23:00 - zippy in Beitrag No. 5 schreibt:
Eine relle Matrix $A$ ist positiv definit, wenn sie symmetrisch ist und wenn $x^TA\,x>0$ für alle $x\ne0$ ist. Äquivalent dazu ist, dass $A$ orthogonal diagonalisierbar ist und dass alle Eigenwerte positiv sind.
Das $A$ aus meinem Beispiel hat diese Eigenschaften nicht. Allerdings ist der Realteil von $A$, also $\frac12(A^T+A)$, postiv definit.
Alles klar, verstehe. Gilt dann aber sowas wie
$\frac12(A^T+A)$ positiv definit $\Leftrightarrow Re(\lambda(A)) > 0$?
Das würde ja nach obiger Argumentation schon ausreichen um zu sagen, dass für $A$, $\frac12(A^T+A)$ positiv definit gelten muss, damit die (obige) Norm kleiner 1 sein kann.
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zippy
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| Beitrag No.7, eingetragen 2020-12-02
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2020-12-01 23:37 - Huhoha in Beitrag No. 6 schreibt:
Gilt dann aber sowas wie
$\frac12(A^T+A)$ positiv definit $\Leftrightarrow Re(\lambda(A)) > 0$?
Nein. Die Matrix $A=\begin{pmatrix}\frac1{10}&1\\0&\frac2{10}\end{pmatrix}$ hat die positiven Eigenwerte $\frac1{10}$ und $\frac2{10}$, aber $\frac12(A^T+A)=\begin{pmatrix}\frac1{10}&\frac12\\\frac12&\frac2{10}\end{pmatrix}$ ist nicht positiv definit.
Diese Matrix ist auch ein Beispiel dafür, was alles passieren kann, wenn $A$ nicht wenigstens normal ist, denn trotz der schönen positiven Eigenwerte von $A$ gilt offensichtlich nicht $\|1-A\|<1$.
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Huhoha
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| Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2020-12-02
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Stimmt, danke für das Beispiel!
Was würde sich denn ändern, wenn $A$ normal ist? Dann ist ja der Spektralradius gleich der 2-Norm, kann ich da aber was über $$\Vert I - A \Vert $$ sagen? Eine normale Matrix kann ja auch indefinit sein, was auf jeden Fall zu einem Nichterfüllen der obigen Gleichung führen würde.
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