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Schulmathematik » Terme und (Un-) Gleichungen » lineare oder quadratische Gleichung?
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Kein bestimmter Bereich J lineare oder quadratische Gleichung?
All-goa-rhythmus
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-12-02


Hallo zusammen


Ist die Gleichung
fed-Code einblenden
eine lineare?

Wenn im ersten Term rechts vom Gleichheitszeichen gekürzt wird, dann gilt:
fed-Code einblenden
also ist die Gleichung linear. Eine andere Möglichkeit wäre:
fed-Code einblenden
so erhält man eine quadratische Gleichung.

Liebe Grüsse und vielen Dank, Algo



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-12-02

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo,

es ist weder das eine noch das andere: es ist eine Bruchgleichung.

Und wie man an den beiden Rechenwegen schön sehen kann: durch verschiedene Umformungen können da nach dem Eliminierien der Brüche unterschiedliche Gleichungen resultieren. Das kommt ja auch darauf an, was genau man macht: jede Multiplikation mit einem von \(x\) abhängigen Term ist hier möglicherweise eine nichtäquivalente Umformung. In diesem Fall tritt diese Problematik beim zweiten Lösungsweg auf, beim ersten jedoch nicht.

Gelöst hast du in beiden Fällen korrekt, sofern ich nichts übersehen habe. Und deine Lösungsmenge ist ja auch in beiden Fällen die gleiche.


Gruß, Diophant


[Verschoben aus Forum 'Terme und (Un-) Gleichungen' in Forum 'Terme und (Un-) Gleichungen' von Diophant]
\(\endgroup\)


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All-goa-rhythmus
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-12-02


Lieber Diophant

Das macht Sinn: Es ist einfach eine Bruchgleichung.

Die lineare und quadratische Gleichung sind ja auch äquivalent schliesslich habe ich nirgends mit einem Term, der null sein könnte, multipliziert oder dividiert und (die fehlende) Definitionsmenge und die Lösungsmenge beider Gleichungen sind identisch.

Der erste Lösungsweg wäre aber klar zu favorisieren, der Rechenaufwand ist geringer; allgemein macht es Sinn, vor dem Ermitteln des HN zu kürzen, falls möglich?!

Liebe Grüsse



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-12-02

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo,

2020-12-02 17:43 - All-goa-rhythmus in Beitrag No. 2 schreibt:
Die lineare und quadratische Gleichung sind ja auch äquivalent

Nein, das ist ein Irrtum. Für sich genommen können beide Gleichungen nicht äquivalent sein, da sie unterschiedliche Lösungsmengen besitzen (die eingeschränkte Definitionsmenge rührt ja von der ursprünglichen Bruchgleichung her!).

2020-12-02 17:43 - All-goa-rhythmus in Beitrag No. 2 schreibt:
schliesslich habe ich nirgends mit einem Term, der null sein könnte, multipliziert

Auch das ist ein Irrtum. Bei der zweiten Variante multiplizierst du ja unter anderem mit \(x+5\), und diese Umformung ist nicht äquivalent. Was dann eben genau die Ursache dafür ist, dass das jetzt auf eine quadratisce Gleichung führt, anstatt auf eine lineare wie bei der ersten Variante.

2020-12-02 17:43 - All-goa-rhythmus in Beitrag No. 2 schreibt:
Der erste Lösungsweg wäre aber klar zu favorisieren, der Rechenaufwand ist geringer; allgemein macht es Sinn, vor dem Ermitteln des HN zu kürzen, falls möglich?!

Ja klar. Wenn man zu Beginn eine Definitionslücke herauskürzen kann, dann macht das hier Sinn, weil es ja keinen weiteren Nenner mit dem gleichen Term \(x+5\) gibt. Also bist du diese Definitionslücke samt falscher Lösung dadurch losgeworden.

Das würde ich aber nicht zum Grundprinzip erheben, denn es ist eigentlich gerade bei solchen Schulaufgaben eher die Ausnahme, dass so etwas möglich ist.

Wenn ich für meine Schüler früher Bruchgleichungen erstellt habe, dann habe ich jedenfalls peinlichst darauf geachtet, solche Phänomene zu vermeiden. 😉


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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All-goa-rhythmus
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-12-02


Lieber Diophant

Vielen Dank für die Antworten.

Ich verstehe deine Antwort zu meiner Bemerkung noch nicht:

2020-12-02 17:43 - All-goa-rhythmus in Beitrag No. 2 schreibt:
schliesslich habe ich nirgends mit einem Term, der null sein könnte, multipliziert

Auch das ist ein Irrtum. Bei der zweiten Variante multiplizierst du ja unter anderem mit x+5, und diese Umformung ist nicht äquivalent. Was dann eben genau die Ursache dafür ist, dass das jetzt auf eine quadratisce Gleichung führt, anstatt auf eine lineare wie bei der ersten Variante.

-5 wurde ja zu Beginn aus dem Definitionsbereich entfernt, es gilt:
\(D=\mathbb{R} \setminus \{-5, 5\}\) entsprechend bedeutet das ja gerade, dass ich bei einer Multiplikation mit x+5 eine Äquivalenzumformung mache.

Für sich genommen sind beide Gleichungen natürlich nicht äquivalent. Wenn obiger Defintionsbereich vorausgesetzt wird, aber schon.

Liebe Grüsse



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2020-12-02

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo,

2020-12-02 18:24 - All-goa-rhythmus in Beitrag No. 4 schreibt:
Ich verstehe deine Antwort zu meiner Bemerkung noch nicht:
...
-5 wurde ja zu Beginn aus dem Definitionsbereich entfernt, es gilt:
\(D=\mathbb{R} \setminus \{-5, 5\}\) entsprechend bedeutet das ja gerade, dass ich bei einer Multiplikation mit x+5 eine Äquivalenzumformung mache.

Nein, so einfach kann man diesem Phänomen kein Schnippchen schlagen. 😉

Das ist und bleibt eine nicht äquivalente Umformung und die Erklärung dafür ist einfach: vorher, vor der Umformung hat die Gleichung eine Lösung. Die umgeformte Gleichung jedoch hat zwei Lösungen.

Richtigerweise schließt du diese zweite Lösung aus deiner Lösungsmenge für die Bruchgleichung aus. Das hat aber keinerlei Konsequenz darauf, ob diese Umformung nun äquivalent ist oder nicht. Das würde ja sonst quasi bedeuten, dass sich das erst im Nachhinein entscheidet...

2020-12-02 18:24 - All-goa-rhythmus in Beitrag No. 4 schreibt:
Für sich genommen sind beide Gleichungen natürlich nicht äquivalent. Wenn obiger Defintionsbereich vorausgesetzt wird, aber schon.

Nochmal: dieser Definitionsbereich gilt für die Bruchgleichung. Nicht für die durch Umformung erhaltenen Gleichungen. Das muss man hier sauber trennen.


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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DerEinfaeltige
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2020-12-02

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2020-12-02 18:37 - Diophant in Beitrag No. 5 schreibt:

Nochmal: dieser Definitionsbereich gilt für die Bruchgleichung. Nicht für die durch Umformung erhaltenen Gleichungen. Das muss man hier sauber trennen.


Da wage ich mal zu widersprechen.
Gleichungen bzw. (Un)Gleichungssysteme sind äquivalent, wenn sie dieselbe Lösungsmenge haben.

Die ursprüngliche Bruchgleichung, die lineare Gleichung, sowie das System aus quadratischer Gleichung und der Ungleichung $x\neq -5$, sind äquivalent.


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Why waste time learning when ignorance is instantaneous?
- Bill Watterson -
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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2020-12-02

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
@DerEinfaeltige:
2020-12-02 19:56 - DerEinfaeltige in Beitrag No. 6 schreibt:
2020-12-02 18:37 - Diophant in Beitrag No. 5 schreibt:
Nochmal: dieser Definitionsbereich gilt für die Bruchgleichung. Nicht für die durch Umformung erhaltenen Gleichungen. Das muss man hier sauber trennen.
Da wage ich mal zu widersprechen.
Gleichungen bzw. (Un)Gleichungssysteme sind äquivalent, wenn sie dieselbe Lösungsmenge haben.

Ich kenne das so: eine Umformung ist äquivalent, wenn die umgeformte Gleichung (oder Ungleichung) nach der Umformung zu der Version vor der Umformung äquivalent ist, also die gleiche Lösungsmenge besitzt. Und das ist hier eben bei der zweiten Version nicht der Fall. Das passiert ja erst durch deine zusätzliche Annahme:

2020-12-02 19:56 - DerEinfaeltige in Beitrag No. 6 schreibt:
Die ursprüngliche Bruchgleichung, die lineare Gleichung, sowie das System aus quadratischer Gleichung und der Ungleichung $x\neq -5$, sind äquivalent.

Dem widerspreche ich ja auch nicht. Die Bruchgleichung und die lineare Gleichung sind hier äquivalent, weil dort nur Äquivalenzumformungen angewendet wurden. Die Bruchgleichung ist aber nur zu dem System aus quadratischer Gleichung und angenommener Ungleichung äquivalent, nicht aber zur quadratischen Gleichung an sich.

Sonst bräuchte es ja streng genommen den Begriff Äquivalenzumformung überhaupt nicht: man könnte jede nichtäquivalente Umformung durch eine geeignete Zusatzannahme äquivalent machen.


Gruß, Diophant
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viertel
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle} \newcommand\d{\mathop{}\!\mathrm{d}} \newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
2020-12-02 20:11 - Diophant in Beitrag No. 7 schreibt:
Sonst bräuchte es ja streng genommen den Begriff Äquivalenzumformung überhaupt nicht: man könnte jede nichtäquivalente Umforumung durch eine geeignete Zusatzannahme äquivalent machen.
Die im Extremfall z.B. $\mathbb{D}= \{42\}$ heißen könnte 😉


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DerEinfaeltige
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2020-12-03

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2020-12-02 20:11 - Diophant in Beitrag No. 7 schreibt:

Sonst bräuchte es ja streng genommen den Begriff Äquivalenzumformung überhaupt nicht: man könnte jede nichtäquivalente Umformung durch eine geeignete Zusatzannahme äquivalent machen.


Eine Äquivalenzumformung ist eine Umformung, die immer eine äquivalente Gleichung erzeugt.
Sie liefert also eine hinreichende Bedingung für die Äquivalenz.
Das ist durchaus eine herausragende Eigenschaft.

Sie liefert jedoch keine notwendige Bedingung für Äquivalenz.


Die Zusatzbedingungen nützen ohnehin ja nur dann, wenn man Umformungen verwendet, die zusätzliche Scheinlösungen erzeugen.
Und selbst da kann man sie nicht pauschal anwenden.

Bspw. bleibt die Gleichung $x=0$ durch Multiplikation mit $(x-1)$ und die Zusatzbedingung $x\neq1$ äquivalent.
Bei der Gleichung $x=1$ hingegen funktioniert diese "Umformung" nicht.
Auch mit Zusatzbedingung handelt es sich hier also um keine Äquivalenzumformung.


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All-goa-rhythmus
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Lieber Diophant

Das hat mir sehr geholfen!

Vielleicht hat mich auch die Definition in einem Mathe-Buch verwirrt: Zwei Gleichungen sind dann äquivalent, wenn beim Ersetzen der Variablen durch die gleichen Elemente der (gemeinsamen) Definitionsmenge entweder beide in eine wahre oder beide in eine falsche Aussage übergehen.

Liebe Grüsse, Algo

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.5 begonnen.]



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Caban
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Herkunft: Brennpunkt einer Parabel
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Hallo

Wenn man den Defintionsbereich mitzieht, ist die Aussage ja nicht falsch.

Gruß Caban



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