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Strukturen und Algebra » Körper und Galois-Theorie » Körpererweiterung
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Universität/Hochschule Körpererweiterung
felix0429
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-12-02


hallo, ich sitze am Tisch seit zwei Stunden... und weiß immer noch nicht wie man den richtigen wegen kriegen kann.  

wie sieht die Abbildungmatrix von m_y aus? was bedeutet hier die Basis(1,x,x^2)??? kann jemand mir helfen?

danke im Voraus.





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Vercassivelaunos
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-12-02

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Hallo felix0429,

wenn du eine Abbildungsmatrix bezüglich einer bestimmten Basis bestimmen willst, dann musst du immer rausfinden, auf was die Basisvektoren abgebildet werden. Damit kannst du die Spaltenvektoren bestimmen. Du musst also berechnen, worauf die Basisvektoren $1,x,x^2$ abgebildet werden.

Viele Grüße
Vercassivelaunos
\(\endgroup\)


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juergenX
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2020-12-02


2020-12-02 20:51 - felix0429 im Themenstart schreibt:
hallo, ich sitze am Tisch seit zwei Stunden... und weiß immer noch nicht wie man den richtigen wegen kriegen kann.  

wie sieht die Abbildungmatrix von m_y aus? was bedeutet hier die Basis(1,x,x^2)??? kann jemand mir helfen?

danke im Voraus.


Ich kann nur sagen, dass die Basis $\begin{pmatrix}
 1 \\
 x \\
 x^2
\end{pmatrix}$.

ein Erzeugendensystem aller Polynome 2. Grades ist.

$f_2(x) = ax^2+bx+c, a,b,c \in Q$ oder als Vector dargestellt:
$\vec f_2 = \begin{pmatrix}
 c \\
 b \\
 a
\end{pmatrix}$.

Um welche Elemente wird $Q$ erweitert, und was ist das x aus der vorigen Augabe?
Das Element 1 aus Q wird wohl duch Multiplikation auf y abgebildet.
Leider bin ich mit der Schreibweise $\mathbb Q[X](x^3-3x+1)]$ nicht so vertraut gebe ich zu ...aber das Polynom $x^3-3x+1$ ist irreduzibel in Q, da man es durch kein nicht triviales $ax^2+bx+c$ teilen kann, außer
$\vec f_1 = \begin{pmatrix}
 c \\
 0 \\
 0
\end{pmatrix}$ mit c aus Q.

Wenn man den Quotientenring $F[x]/(x^3-3x+1)$ bildet, ist es so als wenn man alle Vielfachen von x^3-3x+1 auf 0 setzt.

$F[x]/(x^3-3x+1)$ ist also ein Restklassenring, man muss noch zeigen dass es ein Körper ist, der aus bestimmten Polynomen besteht.
Ich weiss das ist nicht ganz zu Ende gedacht aber hilft vielleicht n bisschen😉

[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]



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Red_
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-12-03



aber das Polynom $x^3-3x+1$ ist irreduzibel in Q, da man es durch kein nicht triviales $ax^2+bx+c$ teilen kann, außer
$\vec f_1 = \begin{pmatrix}
 c \\
 0 \\
 0
\end{pmatrix}$ mit c aus Q.
Das folgt direkt daraus, dass wenn es reduzibel wäre, so eine rationale Nullstelle existieren würde. Dafür kommen aber nur $\pm 1$ in Frage, wobei beide keine Nullstelle sind. Also ist das Polynom über $\IQ$ irreduzibel.



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Red_
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2020-12-03



wie sieht die Abbildungmatrix von m_y aus? was bedeutet hier die Basis(1,x,x^2)??? kann jemand mir helfen?

Ich bin mir sicher, dass ihr gezeigt habt, dass $L$ ein $\IQ$-VR ist und eine bestimmte Basis besitzt (hier $1,x,x^2$ die Restklasse von $1,X,X^2$). Nun ist $m_y$ eine lineare Abbildung, finde die darstellende Matrix bzgl. obiger Basis heraus.



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Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
Triceratops
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2020-12-06


Sei $K$ ein Körper und $f \in K[X]$ ein normiertes Polynom vom Grad $n$. Die Darstellungsmatrix der Multiplikation mit $x = [X]$ (Restklasse von $X$) auf $K[X]/\langle f \rangle$ bezüglich der üblichen Basis $1,x,\dotsc,x^{n-1}$ ist immer die Begleitmatrix $A(f)$ von $f$. Das rechnet man einfach nach.

Die Multiplikation mit (zum Beispiel) $2+x+x^2$ wird dann folglich von $2 + A(f) + A(f)^2$ dargestellt, denn die Bildung der Darstellungsmatrix ist ja ein Algebra-Homomorphismus.



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juergenX
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2020-12-30 22:17


2020-12-06 12:31 - Triceratops in Beitrag No. 5 schreibt:
Sei $K$ ein Körper und $f \in K[X]$ ein normiertes Polynom vom Grad $n$. Die Darstellungsmatrix der Multiplikation mit $x = [X]$ (Restklasse von $X$) auf $K[X]/\langle f \rangle$ bezüglich der üblichen Basis $1,x,\dotsc,x^{n-1}$ ist immer die Begleitmatrix $A(f)$ von $f$. Das rechnet man einfach nach.

Die Multiplikation mit (zum Beispiel) $2+x+x^2$ wird dann folglich von $2 + A(f) + A(f)^2$ dargestellt, denn die Bildung der Darstellungsmatrix ist ja ein Algebra-Homomorphismus.
Aus wikipedia:
"Die Begleitmatrix eines normierten Polynoms n -ten Grades $\displaystyle f(x)=x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\dots +a_{1}x+a_{0}$ über einem Körper ist die quadratische $\displaystyle n\times n$- Matrix:

$\displaystyle A(f)={\begin{pmatrix}0&0&\dots &0&-a_{0}\\1&0&\dots &0&-a_{1}\\0&1&\ddots &\vdots &-a_{2}\\\vdots &\ddots &\ddots &0&\vdots \\0&\dots &0&1&-a_{n-1}\\\end{pmatrix}}$".

Die Begleitmatrix wäre für

$\displaystyle f(x)=x^5+2x^4-3x^2+3x-21$

$a_0=-21, a_1=3, a_2=-3, a_3=0, a_4=2$

$\displaystyle A(f)=
{\begin{pmatrix}
0 &0 &0 &0 & 21\\
1 &0 &0 &0 & -3\\
0 &1 &0 &0 & 3\\
0 &0 &1 &0 & 0\\
0 &0 &0 &1  &-2

\end{pmatrix}}$.



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juergenX
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2021-01-01 00:42


Was bewirkt jetzt aber $A(f)$?

Das ist wohl nur etwas Rechnerei..
Weiter heißt es ja:
Das charakteristische Polynom und das Minimalpolynom von $\displaystyle A(f)$ ist gerade f, was man sich erstmal klarmachen muß.
P.S Das neue Jahr ist lang und ich wünsche Dir und allen noch viel Spaß und Gesundheit, auch den Angehörigen!
J.





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