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Analysis » Komplexe Zahlen » Komplexe Zahl rein imaginär
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Universität/Hochschule Komplexe Zahl rein imaginär
Akin
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-12-02


Hallo,

Ich kenne schon die Musterlösung, aber möchte gerne wissen ob mein Ansatz überhaupt Sinn macht und was ich bei der Musterlösung nicht verstehe.

Sei z∈C\{1,−1}.  Zeigen  Sie,  dass w:=(z−1)/(z+1) genau  dann  rein  imaginär  ist  (d.h. R(w) = 0 und Im(w)!= 0), wenn |z|= 1.

Ich habe einen Gedankenfehler, bei meinem Ansatz und auch wenn ich versuche die Musterlösung zu verstehen.

Die Musterlösung setzt für z = x + yi ein und versucht den Bruch so zu ergänzen, dass Nenner nur reel ist, und Zähler den reelen Anteil und komplexen Anteil getrennt als Addition hat.
Den Bruch also mit ((x+1)-iy)) ergänzen.
Also w = (x^2+y^2-1+2iy)/((x+1)^2+y^2)

Es muss der Teil x^2+y^2-1 = 0 sein, damit Bruch rein imaginär ist, Problem ist nur, dass auch y = 0 sein kann.

Mein Ansatz macht wahrscheinlich gar keinen Sinn für euch:
Meine Idee war ich nehme die Formel R(w) = 1/2(w+w') und Im(w) ungleich 0 und suche nach Lösungen durch Umformen. Aber schon wenn ich R(w)=0 setze bekomme ich für z' = 1, die Lösung 0. Aber z' (ohne imaginär Teil konjugiert) = z darf eben nicht {1,-1} sein. D.h. es muss für jedes z ungleich {1,-1} einen reelen Teil geben.



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Caban
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-12-02


Hallo

Ich sehe kein Problem, dass y 0 sein kann.

Bei deinem Ansatz versteht ich nicht, was w' bedeudet.

Gruß Caban



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dietmar0609
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2020-12-03


Hast du dir mal klar gemacht, was deine Abbildung w dabei geometrisch macht?



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Akin
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2020-12-03


2020-12-02 23:22 - Caban in Beitrag No. 1 schreibt:
Hallo

Ich sehe kein Problem, dass y 0 sein kann.

Bei deinem Ansatz versteht ich nicht, was w' bedeudet.

Gruß Caban

Die Aufgabe verlangt doch, dass imaginärer Teil ungleich 0 ist, aber wenn y = 0, dann ist ja z = x + yi Reel.
Und mit w' meine ich immer die konjugiert Form. Also C->C: x+yi wird auf x-yi abgebildet.

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.1 begonnen.]



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dietmar0609
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2020-12-03


w soll rein imaginär werden .....



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2020-12-03

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo Akin und willkommen hier im Forum!

Unter einer imaginären Zahl versteht man eine komplexe Zahl der Form \(z=iy\) mit \(y\in\IR\). Also ist auch \(w=0=i\cdot 0\) eine imaginäre Zahl, so dass durch \(y=0\) kein Problem hinsichtlich der Aufgabe vorliegt.

Allerdings sind ja \(z=\pm 1\) von vorn herein ausgeschlossen. Der befürchtete Fall \(y=0\) kann also nach Voraussetzung nicht eintreten.

(Die geforderte Eigenschaft gilt ja für alle Zahlen \(z\) auf dem Einheitskreis in der Gauß'schen Ebene außer für \(z=-1\).)


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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