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Mechanik » Kinematik der Punktmasse » Dezentraler elastischer Stoß
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Universität/Hochschule Dezentraler elastischer Stoß
Shuggar
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-12-02


Hey, ich bräuchte Hilfe. Zur Situation:


\(m_1\) mit \(\vec{v_1}\) stößt \(m_2\) (ruhend) unter dem Auftreffwinkel \(\alpha\) bezogen auf die x-Achse. Die x-Achse verläuft durch die Kugelmittelpunkte (s. Skizze).

Welche Geschwindigkeiten \(\vec{v'_1}\), \(\vec{v'_2}\) haben die auslaufenden Kugeln und in welche Richtungen \(\beta_1\), \(\beta_2\) bezogen auf die x-Achse bewegen sie sich (in Abhängigkeit von \(m_1\), \(m_2\) und \(\alpha\))?


Wegen Impulserhaltung gilt \(m_1\vec{v_1} = m_1\vec{v'_1}+m_2\vec{v'_2}\) und wegen Energieerhaltung \(m_1v_1^2 = m_1v_{1}'^{2}+m_2v_{2}'^{2}\).

Ich habe die Geschwindigkeiten in Komponenten parallel/senkrecht zu den Achsen zerlegt: \(\vec{v_1}=-v_1\binom{\cos\alpha}{\sin\alpha}\). Impuls- und Energieerhaltung liefern mir dann die drei Gleichungen...

\(-m_1v_1\cos\alpha = m_1v'_{1x}+m_2v'_{2x}\)
\(-m_1v_1\sin\alpha = m_1v'_{1y}+m_2v'_{2y}\)
\(m_1v_{1}^{2} = m_1(v_{1x}'^{2}+v_{1y}'^{2})+m_2(v_{2x}'^{2}+v_{2y}'^{2})\)

... für die vier Unbekannten \(v_{1x}'\), \(v_{1y}'\), \(v_{2x}'\), \(v_{2y}'\). Irgendeine Information fehlt mir also...



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MontyPythagoras
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-12-03


Hallo Shuggar,
herzlich willkommen auf dem Matheplaneten.
Schon einmal Billard gespielt? :-)
Wenn wir annehmen, dass die Kugeloberflächen reibungsfrei sind, dann wirkt der Stoß nur senkrecht zur Oberfläche. Es wird also eine Normalkraft erzeugt im Moment des Stoßes, oder vielleicht sollte man hier von einem Normalimpuls sprechen. Du bekommst hier also noch die zusätzliche Bedingung, dass die Impulsänderungen beider Kugeln jeweils entlang der x-Achse wirken, was hier konkret dazu führt, dass $v_{2y}'=0$ und $v_{1y}'=v_{1y}=-v_1\sin\alpha$ sind bzw. bleiben.
Wenn zwischen den Kugeln dagegen Reibung herrschte, würde sowohl ein anteiliger vertikaler Impuls als auch ein Drehimpuls übertragen. Sicher kennst Du das Reibungsgesetz $F_R=\mu F_N$, also dass eine Reibungskraft proportional ist zur Normalkraft (hier muss man noch in Gleitreibung und Haftreibung unterscheiden). Im Prinzip gilt das gleiche für den Stoß, und ein tangential zur Oberfläche wirkender Impuls erzeugt eben auch Drehimpuls, was dazu führt, dass die Billardkugeln die theoretisch idealen Rollrichtungen nicht genau einhalten und bei exzentrischem Aufprall einen Drall um die vertikale Achse erfahren.

Ciao,

Thomas



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Shuggar
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-12-03


2020-12-03 10:27 - MontyPythagoras in Beitrag No. 1 schreibt:
Hallo Shuggar,
herzlich willkommen auf dem Matheplaneten.
Schon einmal Billard gespielt? 😄
Wenn wir annehmen, dass die Kugeloberflächen reibungsfrei sind, dann wirkt der Stoß nur senkrecht zur Oberfläche. Es wird also eine Normalkraft erzeugt im Moment des Stoßes, oder vielleicht sollte man hier von einem Normalimpuls sprechen. Du bekommst hier also noch die zusätzliche Bedingung, dass die Impulsänderungen beider Kugeln jeweils entlang der x-Achse wirken, was hier konkret dazu führt, dass $v_{2y}'=0$ und $v_{1y}'=v_{1y}=-v_1\sin\alpha$ sind bzw. bleiben.

Stimmt 😁. Ich habe das reibungsfrei bei der Formulierung weggelassen, weil ich damit nichts anfangen konnte bzw. das irgendwie immer dabei steht.

2020-12-03 10:27 - MontyPythagoras in Beitrag No. 1 schreibt:
Schon einmal Billard gespielt? 😄

Tatsächlich ja, aber nur ein paar Mal 😛 Ist dort auch die Reibung vernachlässigbar?



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MontyPythagoras
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-12-03


2020-12-03 11:12 - Shuggar in Beitrag No. 2 schreibt:
2020-12-03 10:27 - MontyPythagoras in Beitrag No. 1 schreibt:
Schon einmal Billard gespielt? 😄
Tatsächlich ja, aber nur ein paar Mal 😛 Ist dort auch die Reibung vernachlässigbar?
Für Hobby-Spieler ja, für Profis nein. (Allerdings glaube ich nicht, dass Profis im Kopf das Gleichungssystem lösen und danach ihr Queue ausrichten. Das wird sicher im Laufe der Trainingsjahre einfach empirisch optimiert... 😄).

Ciao,

Thomas



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