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Funktionentheorie » Holomorphie » Nicht isolierte Singularitäten
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Universität/Hochschule J Nicht isolierte Singularitäten
Aralian
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  Themenstart: 2020-12-03

Hallo, wir haben gerade in Mathe das Thema (isolierte) Singularitäten. In unserem Skript steht, dass isolierte Singularitäten entweder hebbar, Polstelle oder wesentlich sind. Was eine isolierte Singularität ist, habe ich denke ich auch soweit verstanden, jedoch jetzt meine Frage: Wir sollen in einer Aufgabe Singularitäten finden und klassifizieren und prüfen, ob es sich um eine isolierte Singularität handelt. Wenn es sich bei der Singularität allerdings um eine hebbare/Polstelle/wesentliche Singularität handelt muss sie doch auch gleichzeitig isoliert sein, oder? Wie bestimme ich dann, ob eine Singularität nicht isoliert ist? Wenn sie weder hebbar/Polstelle/wesentlich ist? Wir haben auch besprochen, dass Verzweigungspunkte keine isolierte Singularität darstellen. Beispiel: z/(z^2+4)^2 hier handelt es sich bei z=(+/-) 2i um Polstellen 2. Ordnung und damit sind die beiden Singularitäten isoliert. Was müsste passieren, damit eine Singularität nicht isoliert ist?


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dietmar0609
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  Beitrag No.1, eingetragen 2020-12-03

Schau hier mal rein: https://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/18894_Singularit_t.png


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Aralian
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-12-03

Das heißt also: Ich zeige, dass die Singularität hebbar/Pol/wesentlich ist: -> es handelt sich um eine isolierte Singularität Singularität ist ein Verzweigungspunkt: -> Es handelt sich um eine nicht isolierte Singularität damit sind alle möglichen Fälle abgedeckt?


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dietmar0609
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  Beitrag No.3, eingetragen 2020-12-03

wenn du die Singularität bei Unendlich mit einschließt (Fall 5) , hast du im Prinzip alle Möglichkeiten abgedeckt. Ich finde den Auszug der in dem englischen Beitrag sehr gut, da dort für jede der 5 Möglichkeiten Beispiele angeführt sind. Gruß Dietmar


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Wally
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  Beitrag No.4, eingetragen 2020-12-03

\(\begingroup\)\(\newcommand{\D}{\displaystyle}\) So wie ich es bei flüchtigem Lesen sehe, geht es nur um isolierte Singularitäten. Wenn eine Singularität Häufungspunkt von Singularitäten ist, ist sie nicht isoliert, z.B. Null bei \( \D \frac{1}{\sin \frac{1}{z}}\). Viele Grüße Wally \(\endgroup\)


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Aralian
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  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2020-12-04

Danke, das hat mir sehr weitergeholfen. Eine letzte Frage hätte ich allerdings noch. Wir haben ja gesagt, dass alle hebbaren Singularitäten isoliert sind. Wie sieht es mit hebbaren Singularitäten im unendlichen aus? Beispiel: z/(z^2+4)^2 Diese Funktion hat ja 2 Polstellen vom Grad 2 in (+/-) 2i sowie wegen: f(1/z) = 1/(1/z^3+8/z^2+16z) und lim(z->0,f(1/z)) = 0 eine hebbare Singularität im unendlichen. Allerdings häufen sich die Singularitäten im unendlichen meiner Meinung nach doch, oder? Kann man daher sagen, dass alle Singularitäten im unendlichen nicht isoliert sind, oder macht die Aussage: hebbare Singularität im unendlichen keinen Sinn und man würde sie einfach nur als: Singularität im unendlichen bezeichnen? Außerdem: Eine Singularität ist wesentlich, wenn sie weder hebbar noch Polstelle ist. d.h. ja dann eigentlich, dass alle Singularitäten die keine Verzweigungspunkte sind, isoliert sind, oder?


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Wally
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  Beitrag No.6, eingetragen 2020-12-04

\(\begingroup\)\(\newcommand{\D}{\displaystyle}\) Hallo, die Singularitäten können sich nicht häufen, da es nur drei Stück sind. Singularitäten, die sich im Unendlichen häufen sind z.B. die von \(\D \frac{1}{\sin x}\). Viele Grüße Wally \(\endgroup\)


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