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 Reelle Eigenwerte einer hermiteschen Matrix |
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kalli50
Aktiv 
Dabei seit: 30.06.2020
Mitteilungen: 31
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Hallo alle zusammen,
ich sitze grad an folgender Aufgabe:
  
Sei H\el\ M_n (\IC) hermitesch. Zeige, dass die Koeffizienten des char. polynoms, die des Minimalpolynoms und die Eigenwerte reell sein müssen, die Eigenvektoren aber nicht unbedingt.
Bisher habe ich zu den Eigenwerten:
Sei \lambda\el\ \IC ein Eigenwert von H und v der Eigenvektor. => H*v = \lambda*H und \lambda * <v,v> = <v, \lambda*v> = <\lambda*v,v> = \lambda^- * <v,v> => \lambda=\lambda^- also muss \lambda reell sein.
Ich kann mir intuitiv vorstellen, dass das char. Polynom reell sein muss, wenn es nur reelle Eigenwerte hat, jedoch fehlt mir die Beweisidee. Kann mir jemand sagen, ob 1. mein obiger Beweis so in Ordnung ist und mir eventuell bei den anderen Teilaufgaben weiterhelfen?
Lieben Dank!
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Wally
Senior 
Dabei seit: 02.11.2004
Mitteilungen: 9047
Herkunft: Dortmund, Old Europe
 |      Beitrag No.1, eingetragen 2020-12-05
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\D}{\displaystyle}\)
Hallo kalli,
da ist was Richtiges dran, aber wo geht denn \( H\) ein?
Viele Grüße
Wally\(\endgroup\)
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kalli50
Aktiv
Dabei seit: 30.06.2020
Mitteilungen: 31
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-12-05
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\D}{\displaystyle}
\newcommand{\D}{\displaystyle}\)
2020-12-05 09:41 - Wally in Beitrag No. 1 schreibt:
Hallo kalli,
da ist was Richtiges dran, aber wo geht denn \( H\) ein?
Viele Grüße
Wally Hallo Wally,
wie genau meinst du das?
Liebe Grüße\(\endgroup\)
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kalli50
Aktiv
Dabei seit: 30.06.2020
Mitteilungen: 31
| Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2020-12-05
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\D}{\displaystyle}
\newcommand{\D}{\displaystyle}
\newcommand{\D}{\displaystyle}\)
2020-12-05 10:12 - kalli50 in Beitrag No. 2 schreibt:
2020-12-05 09:41 - Wally in Beitrag No. 1 schreibt:
Hallo kalli,
da ist was Richtiges dran, aber wo geht denn \( H\) ein?
Viele Grüße
Wally Hallo Wally,
wie genau meinst du das?
Liebe Grüße Ach, ich glaube, ich weiß, was du meinst.
Muss ich noch einfügen, dass
Sei \lambda\el\ \IC ein Eigenwert von H und v der Eigenvektor. => H*v = \lambda*H und \lambda * <v,v> = <v, \lambda*v> = <\lambda*v,v> = \lambda^- * <v,v> => \lambda=\lambda^- also muss \lambda reell sein. H^* steht hierbei für die adjungierte Matrix.
\(\endgroup\)
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ochen
Senior
Dabei seit: 09.03.2015
Mitteilungen: 3050
Herkunft: der Nähe von Schwerin
| Beitrag No.4, eingetragen 2020-12-05
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Hallo,
bei deinem Beweis verwendest du gar nicht die Matrix $H$. Es muss also irgendwo etwas fehlen.
P.S. Bist du dir sicher, dass $\lambda v=\lambda H$ gelten sollte?
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