Crashdemon
Junior Dabei seit: 08.12.2020 Mitteilungen: 5
Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2020-12-08
Wieso kann man dann nichts sagen? Ich will ja keinen exakten Wert sondern nur das Verfahren wissen wie man es lösen würde. Die Polynome sind jeweils vierten Grades. Also:
Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
hyperG
Senior Dabei seit: 03.02.2017 Mitteilungen: 1360
Beitrag No.9, eingetragen 2021-01-25
2020-12-08 22:28 - Crashdemon in Beitrag No. 5 schreibt:
Wieso kann man dann nichts sagen? Ich will ja keinen exakten Wert sondern nur das Verfahren wissen wie man es lösen würde. Die Polynome sind jeweils vierten Grades. Also:
Ich denke die konkreten Koeffizienten sind hierfür unrelevant.
Wenn a0...a4 identisch -> dann sind auch p1...p3 identisch!
(oder anders: es gibt nur p1, und zwar p1(x), p1(y), p1(1-x-y)
Wenn nicht, dann haben wir statt 5 dann 3*5 = 15 Koeffizienten!
(a[1,0], a[1,1]...a[3,4] diesen extrem komplizierten Fall klammere ich mal aus)
Statt Max(p(...)) sucht man besser Min(1/p(...)) -> was dann nur die Summe unter dem Bruchstrich ist.
Was ist mit dem Fall x=y=0? Erlaubt?
Wenn ja, dann vereinfacht sich alles zu
Maximize[p3(z)] , da z dann 1 wäre
=Maximize[a0+a1+a2+a3+a4]
Zwar kann man Nullstellen von Polynomen bis Grad 4 analytisch lösen (PQRSTUVW-Formel), aber ich probiere im nächsten Beitrag mal was aus (x > 0, y> 0)...
hyperG
Senior Dabei seit: 03.02.2017 Mitteilungen: 1360
Beitrag No.10, eingetragen 2021-01-25
Nun Fälle mit x>0 und y>0 und konkretem Polynom
P1[x] := x^4/4 + x^3/3 + x^2/2 + x + 1/2;
Daraus wird nach Zusammenfassung für den zu minimierenden Term unter dem Bruchstrich:
mathematica
FullSimplify[x/P1[x]+ y/P1[y]+(1- x - y)/P1[1- x - y]](12 x)/(6+x (12+x (6+x (4+3 x))))-(1-x-y)/(-(3/2)+x+y-1/2(-1+x+y)^2+1/3(-1+x+y)^3-1/4(-1+x+y)^4)+(12 y)/(6+y (12+y (6+y (4+3 y))))
Da es unendlich viele Nullstellen hat (und p somit an unendlich vielen Stellen gegen Unendlich geht), hier mal die 3D Grafik:
Entlang der "Schnittkante" habe ich mal einen "relativ leicht" zu berechnenden Punkt bei x=1 genauer untersucht und mit der PQRSTUVW-Formel die Nullstelle (für Polynome vom Grad 4 mit Hilfe von Mathematica) berechnet:
Trotz der imaginären Zwischenergebnisse ist die irrationale Zahl reell:
2.398284905811659253583752555805656598475028....
Je genauer man sie berechnet (hier 42 Nachkommastellen)
-> um so kleiner wird Fxy[1, 2.398284905811659253583752555805656598475028]=10^-42
und um so größer wird das Maximum bei p=1/Fxy , also um 10^42.
Wenn man also nur "praktikable Punkte" sucht, sollte man den Suchbereich stark einschränken, um nicht unendlich viele Stellen mit unendlich großem Maximum zu bekommen.
hyperG
Senior Dabei seit: 03.02.2017 Mitteilungen: 1360
Beitrag No.12, eingetragen 2021-01-25
noch zum letzten Beitrag:
wenn man die Nullstellenfunktion von Fxy sucht, und dann x für den Bereich 1.27...3.36 einschränkt, spuckt Mathematica tatsächlich eine Formel y(x) aus, die den gesamten Bildschirm ausfüllt!!!
Für x=2 habe ich mal eine Probe angesetzt:
(Formel abgeschnitten, da zu groß zum Hochladen)
Komplexes Zwischenergebnis und richtige Nullstelle,
was nach Kehrwertbildung wieder unendlich große Maxima entlang y(x) liefert!
Also selbst für "festgezurrte" p1=p2=p3 ergibt das mehrere Ultrahochkomplizierte Isolinien-Funktionen,
um dann unendlich große Maxima zu bekommen.
Ich denke die konkreten Koeffizienten sind hierfür unrelevant.
Ob \(a_4\!>\!0\) oder \(a_4\!<\!0\) ist, das ist vermutlich sehr relevant.
Ich halte es zudem für äußerst interessant, dass die Koeffizienten für alle "drei" Polynome dieselben sind; wir haben also grundsätzlich nicht drei, sondern nur ein Polynom.
Du sagst nirgends, dass \(x,y,z\) positiv sein müssen. Dürfen sie wirklich negative Werte oder oder Nullwerte annehmen?
----------------- /Kyristo meu kimgei kom nhi cumgen ta Gendmogen. (Kol.2:9)
hyperG
Senior Dabei seit: 03.02.2017 Mitteilungen: 1360
Beitrag No.14, eingetragen 2021-01-25
Übrigens: es gibt auch fertige (numerische) Funktionen zum Suchen von Min & Max,
ABER:
- zig Parameter zu beachten wie hier z.B. bei Mathematica
(Do[Print[NMinimize[f, {{x, -50, 50}, {y, -50, 50}},
Method -> {"NelderMead", "ShrinkRatio" -> 0.95,
"ContractRatio" -> 0.95, "ReflectRatio" -> 2,
"RandomSeed" -> i}]], {i, 5}] )
- meist werden nur kleine lokale Punkte gefunden
- bei komplizierten 2D-Funktionen, die aus verschachtelten Polynomen bestehen -> ist es fast schon Zufall, im großen Suchbereich wirklich was globales zu finden
...
hyperG
Senior Dabei seit: 03.02.2017 Mitteilungen: 1360
Beitrag No.15, eingetragen 2021-01-27
Hier mal ein praktisches Beispiel, wie man durch geeignete Polynome & geeignete Bereichseinschränkungen solche "Extremwertaufgaben" mathematisch angeht. Wie bereits beschrieben betrachte ich nur die Funktion unter dem Bruchstrich, wo man also das Minimum (jedoch > 0) sucht (rotes Tal):
Extremwertaufgaben löst man durch Nullsetzung der jeweiligen partiellen Ableitung (Untersuchung, ob lokales Min oder max lasse ich mal aus Zeitgründen weg, da man es schon an der 3D Grafik eindeutig erkennt)):
mathematica
P1[x_] := x^4*0+ x^3*0+ x^2*6/10+ x*(-2)+7;
f[x_, y_] := x/P1[x]+ y/P1[y]+(1- x - y)/P1[1- x - y];
Reduce[{D[f[x, y], x] == 0, D[f[x, y], y] == 0,
0.1< x <1.6, -1.9< y <1.9}, {x, y}, Reals]Out: x == 0.333333333333333&& y == 0.333333333333333
Das Maximum für p=1/f also 1/f[1/3, 1/3] = 6.4
was die Grafik anschaulich widerspiegelt:
Für "universelle Polynome p1" bekommt man jedoch zu 90% immer viele Nulldurchgänge (Ebene mit z==0), was nach Kehrwertbildung für p ein Sprung von
-unendlich nach +unendlich bedeutet -> was ohne starke Einschränkung des Suchbereiches also unpraktikabel ist:
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