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Physik » Thermodynamik & Statistische Physik » Ist in extrem verdünnten Gasen die Temperatur sinnvoll?
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Universität/Hochschule Ist in extrem verdünnten Gasen die Temperatur sinnvoll?
carlox
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-12-13


Hallo allerseits,
habe irgendwann mal einen Artikel gelesen (vermutlich Spektrum der Wissenschaft), wo es um extrem verdünnte Gase ging, also mit ganz wenig Gasmolekülen pro Volumen.
So weit ich weiß wurde dort behauptet, daß dan bestimmte Parameter wie z.B. Temperatur keinen Sinn mehr ergeben.

1)
Stimmt das und wenn ja, warum ist das so ?

2) Welche weiteren Parameter haben dann keinen Sinn mehr?

mfg
cx



 



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jacha2
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-12-13


Salut,
die thermodynamische Temperatur ...
2020-12-13 09:29 - carlox im Themenstart schreibt: ...
So weit ich weiß wurde dort behauptet, daß dan bestimmte Parameter wie z.B. Temperatur keinen Sinn mehr ergeben.

1)
Stimmt das und wenn ja, warum ist das so ?
...ist eine statistische Größe (Es gab hier schon mal die Frage, welche Temperatur eine einzige Gasmolekel habe). Ab welcher Teilchenzahl hat eine statistische Größe denn Aussagekraft?

Wenn man einen Rezipienten mehr und mehr evakuiert, mißt jedes (geeignete) Thermometer mehr und mehr die Vakuumtemperatur, also etwas mit der Strahlungsdichte zusammenhängendem, die sich aus der (vorwiegend thermischen) Strahlung der Rezipienteninnenwände ergibt. Außerdem adsorbieren diese Wände die Gasmoleküle zusehends, wenn sie gekühlt werden, d.h., die Moleküle kleben dort fest und ihre der kin. Gastheorie entsprechende Temperatur ist nicht mehr definiert.

Deine Frage müßte für diesen Fall eher lauten, was für einen Sinn man der Anzeige eines Instruments beimessen will, dem das Substrat der Messung abhanden gekommen ist.
2020-12-13 09:29 - carlox im Themenstart schreibt: ...
2) Welche weiteren Parameter haben dann keinen Sinn mehr?
Alle Ensemblegrößen. Bei Gasen vor allem Druck und spez. Volumen
Adieu


 



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carlox
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-12-14


Hallo hacha2,
zuerst mal Danke für dein fedback.

2020-12-13 22:28 - jacha2 in Beitrag No. 1 schreibt:
Salut,
die thermodynamische Temperatur ...
...ist eine statistische Größe (Es gab hier schon mal die Frage, welche Temperatur eine einzige Gasmolekel habe). Ab welcher Teilchenzahl hat eine statistische Größe denn Aussagekraft?
Die thermodynamische Temperatur ist (so weit meine geringen physikalischen Kenntnisse) die durchschnittliche Geschwindigkeit aller Gasmoleküle des betrachteten Gases.
Wenn das betrachtete Gas nur aus einem Molekül besteht, dann müßte die Durchschnittsgeschwindigkeit doch definiert sein, oder wo gibt es da Probleme ?


Wenn man einen Rezipienten mehr und mehr evakuiert, mißt jedes (geeignete) Thermometer mehr und mehr die Vakuumtemperatur, also etwas mit der Strahlungsdichte zusammenhängendem, die sich aus der (vorwiegend thermischen) Strahlung der Rezipienteninnenwände ergibt. Außerdem adsorbieren diese Wände die Gasmoleküle zusehends, wenn sie gekühlt werden, d.h., die Moleküle kleben dort fest und ihre der kin. Gastheorie entsprechende Temperatur ist nicht mehr definiert.
Ich meine jetzt nur die thermodynamische Temperatur, also die
durchschnittliche Geschwindigkeit aller Gasmoleküle des betrachteten Gases.



2) Welche weiteren Parameter haben dann keinen Sinn mehr?
Alle Ensemblegrößen. Bei Gasen vor allem Druck und spez. Volumen
Wo gibt es bei der Definition des Volumens ein Problem, wenn das Gas nur aus einem Molekül besteht?

mfg
cx



 



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jacha2
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-12-14


Salut,

2020-12-14 20:11 - carlox in Beitrag No. 2 schreibt:
...Die thermodynamische Temperatur ist (so weit meine geringen physikalischen Kenntnisse) die durchschnittliche Geschwindigkeit aller Gasmoleküle des betrachteten Gases.
Wenn das betrachtete Gas nur aus einem Molekül besteht, dann müßte die Durchschnittsgeschwindigkeit doch definiert sein, oder wo gibt es da Probleme ?
Die kinet. Gastheorie verwendet den Temperaturbegriff nicht nur als Durchschnittsgeschwindigkeit, sondern legt diesem Begriff auch die von Maxwell beschriebene Verteilung zugrunde, die das Ergebnis eines stochastischen Geschehens ist, das sich in ein maßtheoretisches Konzept einbetten läßt.

Davon kann bei vereinzelten Molekülen nicht mehr die Rede sein. Die von Dir zitierte Passage zweifelt an, daß die Temperatur als eine auf diskrete Atome anzuwendende Größe sinnvoll sei, wohingegen Du Dich nach Problemen erkundigst. Ich erwidere durch Rücgabe der Frage: Wozu bedarf es denn der Temperatur in so einem Falle?
2020-12-14 20:11 - carlox in Beitrag No. 2 schreibt: ...
Ich meine jetzt nur die thermodynamische Temperatur, also die durchschnittliche Geschwindigkeit aller Gasmoleküle des betrachteten Gases....
T ist eben als Ensemblevariable definiert. Es gibt weitere Beispiele für phys. Größen, denen ein bestimmtes Konzept zugrundeliegt, und deren Bestimmungsvorschrift man irgendwie erweitern kann. Aber was gewinnt man durch Zuordnung einer Temperatur an ein einzelnes Molekül? Man muß, wenn man's genaunimmt, auch noch seine inneren Anregungszustände (Rotationen, Vibrationen, Elektronen auf höheren Niveaux) miteinbeziehen sowie deren Wechselwirkung mit dem Strahlungsfeld im Vakuum des Rezipienten oder Weltalls. Jedes einzelne solches Ereignis ändert seine Temperatur. Kurz, das thermodynamische System ist dann nicht das einzelne Molekül, sondern das System aus Molekül und dem damit wechselwirkenden Strahlungsfeld, das man nicht weglassen kann, denn es ist eines der Reservoirs, aus denen sich deren Konzepte speisen. Anders ausgedrückt: Nicht alles, was formal machbar ist, ist sinnvoll. Es müssen nicht gleich himmelstürzende Probleme auftreten und ich würde auch nicht 'hereingrätschen' (auch hier stehen die Apostrophen völlig zu Recht) und mit Verdikten um mich werfen, aber welcher Erkenntnisgewinn ergibt sich, einem Molekül, das ein paar ns lang eine Geschwindigkeit von 20 m/s hat, auch noch eine Temperatur zuzuordnen? Außer einem gewissen "aha" um kinetische und thermische Skalen herum? Selbst wenn ein derartiges Tracking möglich wäre?
2020-12-14 20:11 - carlox in Beitrag No. 2 schreibt: ...Wo gibt es bei der Definition des Volumens ein Problem, wenn das Gas nur aus einem Molekül besteht?...
Ein Molekülvolumen von der Größe des Inhalts eines Rezipienten würfe vergleichbare konzeptuelle Fragen auf. Wie gesagt, die Molekel teilt sich den Phasenraum ihres System-Daseins mit jeder Menge Photonen und Neutrinos und was-auch-immer. Die gehören alle dazu und "wackeln" beständig an solch einer Temperatur herum. Was für eine Aussagekraft hat die als andauernd fluktuierender Augenblickswert eines einzigen Mitglieds dieses Ensembles?

Oder, um die Frage umzukehren: Wieso und warum schreibe ich in einem thermischen Reservoir nicht jeder einzelnen Komponente ihre eigene momentane Temperatur zu, statt alle durch einen schlichten Skalar zu ersetzen?

Adieu



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carlox
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-12-16



Kurz, das thermodynamische System ist dann nicht das einzelne Molekül, sondern das System aus Molekül und dem damit wechselwirkenden Strahlungsfeld, das man nicht weglassen kann, denn es ist eines der Reservoirs, aus denen sich deren Konzepte speisen. Anders ausgedrückt: Nicht alles, was formal machbar ist, ist sinnvoll. Es müssen nicht gleich himmelstürzende Probleme auftreten

Mir geht es darum, ob sich bei der Definition der Temperatur bei einem Molekül Widersprüche ergeben.

Dazu ein Beispiel:
Angenommen man modelliert wie folgt ein System:
(m(t) ist die Masse zu einem Zeitpunkt t und m' die Ableitung dazu)
m'(t) = -0,5 * m(t)    (*)
Damit m' existiert, muß m durch das Kontinuum der reellen Zahlen dargestellt werden.
Wenn man aber m durch eine sehr grosse Anzahl a von Atomen darstellt (und damit eine andere Modellierung hat), kann man das sicher noch durch eine Iteration annähern.
Aber ab einem kritischen Wert von a wird es Probleme geben diesen Vorgang bei (*)  zu simulieren.

Oder wie siehst du das ?

mfg
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jacha2
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2020-12-16


Salut,
bislang sehe ich nur den Widerspruch ...
2020-12-16 09:55 - carlox in Beitrag No. 4 schreibt:
...Mir geht es darum, ob sich bei der Definition der Temperatur bei einem Molekül Widersprüche ergeben.
....zwischen der Kontinuumshypothese und der Atomtheorie vom diskreten Materieaufbau, der sich durch Zweckmäßigkeitsüberlegungen befrieden läßt. Obzwar diese ...
2020-12-16 09:55 - carlox in Beitrag No. 4 schreibt:
Dazu ein Beispiel:
Angenommen man modelliert wie folgt ein System:
(m(t) ist die Masse zu einem Zeitpunkt t und m' die Ableitung dazu)
m'(t) = -0,5 * m(t)    (*)
Damit m' existiert, muß m durch das Kontinuum der reellen Zahlen dargestellt werden.
Wenn man aber m durch eine sehr grosse Anzahl a von Atomen darstellt (und damit eine andere Modellierung hat), kann man das sicher noch durch eine Iteration annähern.
Aber ab einem kritischen Wert von a wird es Probleme geben diesen Vorgang bei (*)  zu simulieren.
...
...Fragestellung das Thema in Richtung Raketengleichung verschiebt unter einstweiliger Zugrundelegung der Kontinuumshypothese.Thermodynamische Größen implizieren deren Gültigkeit. Ihre Aussagekraft erlischt bei Fehlen dieser Voraussetzung. Überlegen wir uns, was die Modellierung der abströmenden Masse bewirkt. Für die Raketengleichung und die Richtigkeit ihrer auf dem Impulssatz beruhenden Aussage ist es egal, ob die Propulsion durch Ausstoß von Treibstoffpäckchen oder einem kontinuierlichen Abstrom zustandekommt. Für die Details der Modellierung nicht. Hat man sich für die diskrete Lösung entschieden, mag ein stochastischer Prozeß den Ausstoß diskreter Massenteile regieren, der fortlaufend entscheidet, wieviele Pakete in einem gegebenen Zeitintervall ausgestoßen werden. Sein Parameter ist dann die Zufallsfolge, deren Mittelwert dem gewünschten Vortrieb entspricht.

Für die Temperatur als intensiver Größe sehe ich in diesem Bild bislang aber weder Anwendungsfall noch konzeptionelle Fragwürdigkeiten oder gar Widersprüche. Man vermag sicherlich jedem austretenden Päckchen einen Teil der zuvor vorhandenen inneren Energie, ausgedrückt durch kinetische Energie und chemisches Potential, zuschreiben und in eine Temperatur umzurechnen, nur fragt sich immer noch bloß, zu welchem Zweck.

Adieu



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carlox
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2020-12-20



Für die Raketengleichung und die Richtigkeit ihrer auf dem Impulssatz beruhenden Aussage ist es egal, ob die Propulsion durch Ausstoß von Treibstoffpäckchen oder einem kontinuierlichen Abstrom zustandekommt. Für die Details der Modellierung nicht. Hat man sich für die diskrete Lösung entschieden, mag ein stochastischer Prozeß den Ausstoß diskreter Massenteile regieren, der fortlaufend entscheidet, wieviele Pakete in einem gegebenen Zeitintervall ausgestoßen werden. Sein Parameter ist dann die Zufallsfolge, deren Mittelwert dem gewünschten Vortrieb entspricht.
Ich meine es viel einfacher:
Bei sehr vielen Teilchen, kann man die Masse durch die reellen Zahlen (Kontinuum) annähern und damit das System durch eine DGL beschreiben.
Bei sehr wenig Teilen (z.B. 10 Teilen) geht das dann nicht mehr.
Die Ableitung m'(t) ist dann nicht mehr möglich bzw. sinnlos

mfg
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jacha2
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2020-12-20


Salut,

das ist im Wesentlichen doch dasselbe, was ich für thermodynamische Größen ...
2020-12-20 10:10 - carlox in Beitrag No. 6 schreibt:
Ich meine es viel einfacher:
Bei sehr vielen Teilchen, kann man die Masse durch die reellen Zahlen (Kontinuum) annähern und damit das System durch eine DGL beschreiben.
Bei sehr wenig Teilen (z.B. 10 Teilen) geht das dann nicht mehr.
Die Ableitung m'(t) ist dann nicht mehr möglich bzw. sinnlos...
... bereits in
2020-12-14 23:09 - jacha2 in Beitrag No. 3 schreibt:
... T ist eben als Ensemblevariable definiert. Es gibt weitere Beispiele für phys. Größen, denen ein bestimmtes Konzept zugrundeliegt, und deren Bestimmungsvorschrift man irgendwie erweitern kann. Aber was gewinnt man durch Zuordnung einer Temperatur an ein einzelnes Molekül? Man muß, wenn man's genaunimmt, auch noch seine inneren Anregungszustände (Rotationen, Vibrationen, Elektronen auf höheren Niveaux) miteinbeziehen sowie deren Wechselwirkung mit dem Strahlungsfeld im Vakuum des Rezipienten oder Weltalls. Jedes einzelne solches Ereignis ändert seine Temperatur...
... - offenbar völlig erfolglos - herauszustellen versucht habe. Oder übersehe ich da was? Im übrigen kommt man sehr wohl auch bei diskreten Ereignissen in der mathematischen Beschreibung weiter. Man wendet die Theorie der Distributionen an bzw. faltet die in Betracht kommenden Größen mit einer δ-Funktion.
Wenn ich mich recht erinnere, beginnt das Lehrbuch von F. Reiff (Fundamentals of Statistical and Thermal Physics) sogar mit einer stochastischen Betrachtung (random walk), illustriert mit dem drunkard at the lamppost.

Adieu



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carlox
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-19


Eine gute Beschreibung dazu findet sich in:
Spektrum der Wissenschaft Februar 1995
"Existenzbeweis für eine schwache Lösung - eine starke Leistung".
Seite 21
Pierre-Louise Lions hat dafür u.a. eine Field-Medaille erhalten.
Hat mit stark verdünnten Gasen zu tun.

mfg
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2021-01-19


Salut,

mir ist bis dato ...
2021-01-19 19:32 - carlox in Beitrag No. 8 schreibt:
Eine gute Beschreibung dazu findet sich in:
Spektrum der Wissenschaft Februar 1995
"Existenzbeweis für eine schwache Lösung - eine starke Leistung".
Seite 21
Pierre-Louise Lions hat dafür u.a. eine Field-Medaille erhalten.
Hat mit stark verdünnten Gasen zu tun....
...bekannt, daß Pierre-Louis Lions die Fields-Medaille 1995 für seine Arbeiten auf dem Gebiet partieller nichtlinearer Diff'Gln erhielt. Er hat sich dabei wohl auch mit der Boltzmanngleichung beschäftigt.

Vielleicht kannst Du erläutern, inwieweit das die Eingangsfrage des TE einer Antwort näher bringt. Schließlich sind die Bibliotheken, in denen man die von Dir erwähnte Ausgabe einsehen können sollte, derzeit geschlossen.

Adieu




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carlox
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2021-01-19 21:39 - jacha2 in Beitrag No. 9 schreibt:
Vielleicht kannst Du erläutern, inwieweit das die Eingangsfrage des TE einer Antwort näher bringt. Schließlich sind die Bibliotheken, in denen man die von Dir erwähnte Ausgabe einsehen können sollte, derzeit geschlossen.

habe gegoogelt.
siehe:

www.spektrum.de/magazin/existenzbeweis-fuer-eine-schwache-loesung-eine-starke-leistung/822127

mfg
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jacha2
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Salut,

besten Dank ...
2021-01-20 09:48 - carlox in Beitrag No. 10 schreibt:
...habe gegoogelt....
...für den Link.Nach dessen und bei erneuter Lektüre des Threads stelle ich fest, daß offenblieb, was "Sinn" (einer thermodynamischen Zustandsvariablen) in der von Dir zitierten Passage bedeuten solle.

Wenn Temperatur nichts anderes als ein Alias für "kinetische Energie" ist, so wäre damit nichts weiter gewonnen als bloß noch eine Umrechnungsgleichung (neben (Kilo-)Kalorien, Erg, PS-Stunden usw). Sie erlaubt  aber neben ihrer kontinuumsphysikalischen Verwendung eine stochastische nebenher die Definition einer Größe (Entropie), die dem 1. Hauptsatz ein vollständiges Differential zuordnet: \(\mathsf{d}U=T\mathsf{d}S+p\mathsf{d}V\). Insoweit stellt der Link im wesentlichen heraus, wie Lions zeigte, daß die "Unschärfe" der Boltzmanngleichung beliebig klein gemacht werden kann (wenn man das so zusammenraffen darf; wer's genauer wissen will, muß dessen Arbeit ohnedies durchgehen).

Adieu



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carlox
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Nach dessen und bei erneuter Lektüre des Threads stelle ich fest, daß offenblieb, was "Sinn" (einer thermodynamischen Zustandsvariablen) in der von Dir zitierten Passage bedeuten solle.
Genau, das ist mein Problem.


Wenn Temperatur nichts anderes als ein Alias für "kinetische Energie" ist, so wäre damit nichts weiter gewonnen als bloß noch eine Umrechnungsgleichung (neben (Kilo-)Kalorien, Erg, PS-Stunden usw).
Genau, nehmen wir einfach mal an, daß man unter Temperatur die kinetische Energie des Gases versteht.
Zitat aus dem Artikel:
"Jedem Punkt innerhalb eines Gasvolumens und innerhalb eines interessierenden Zeitraums ist also ein Zahlenwert für die genannten Größen zuzuschreiben."

Wie ist dann die Temperatur in einem Punkt definiert?
Vor allem wenn es in einer Umgebung des Punktes sehr wenige oder gar keine Gasmöleküle gibt.
Im Extremfall: Es gibt dort 0 Gasmoleküle.
Oder gibt es für diesen Fall keine Definition, d.h. es wäre sinnlos da etwas definieren zu wollen.

mfg
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Salut,

dann müssen wir ...
2021-01-22 11:09 - carlox in Beitrag No. 12 schreibt: ...Wie ist dann die Temperatur in einem Punkt definiert?
Vor allem wenn es in einer Umgebung des Punktes sehr wenige oder gar keine Gasmöleküle gibt.
Im Extremfall: Es gibt dort 0 Gasmoleküle.
Oder gibt es für diesen Fall keine Definition, d.h. es wäre sinnlos da etwas definieren zu wollen.
...
...die Fragestellung so angehen: Unser System besteht aus dem Innern eines Rezipienten und einer Anzahl n=1 von frei beweglichen Molekülen und lautet, ob seine Zustandsvariable T schon verschwinden muß, wenn auch dieses Molekül an der Wand adsorbiert oder evakuiert wird.
Nein.

In praxi ist das Rezipienteninnere nämlich zugleich und stets von thermischer Strahlung erfüllt, und wenn es sich um ein isoliertes System handelt, werden sich nach ausreichend langer Zeit die Temperatur des Gases und die der Strahlung angeglichen haben. Das wird als Nullter Hauptsatz der Gleichgewichtsthermodynamik zugrundegelegt.

Sogar wenn kein Gasmolekül darin ist. Dann ist es eben das Innere eines Schwarzen Strahlers. Die Existenz eines Temperaturfeldes erfordert nicht notwendigerweise die Präsenz baryonischer Materie.                                                                                                            

Adieu.

P.S wie komme ich denn an die besagte Arbeit von Lions? Wenn ich auf
"https://doi.org/10.2307/1971423" klicke, lande ich stets auf "https://www.jstor.org/stable/1971423" und der alternate access link funktioniert nicht. Auch seine Homepage verweist nur darauf (soweit ich das hingekriegt habe).



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carlox
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...die Fragestellung so angehen: Unser System besteht aus dem Innern eines Rezipienten und einer Anzahl n=1 von frei beweglichen Molekülen und lautet, ob seine Zustandsvariable T schon verschwinden muß, wenn auch dieses Molekül an der Wand adsorbiert oder evakuiert wird.

Nein.

In praxi ist das Rezipienteninnere nämlich zugleich und stets von thermischer Strahlung erfüllt, und wenn es sich um ein isoliertes System handelt, werden sich nach ausreichend langer Zeit die Temperatur des Gases und die der Strahlung angeglichen haben. Das wird als Nullter Hauptsatz der Gleichgewichtsthermodynamik zugrundegelegt.

Sogar wenn kein Gasmolekül darin ist. Dann ist es eben das Innere eines Schwarzen Strahlers. Die Existenz eines Temperaturfeldes erfordert nicht notwendigerweise die Präsenz baryonischen Materie.                                                                                                            
Ich mache folgendes Gedankenexperiment:
1) Unter Temperatur versteht man die kinetische Energie des Gases.
2) Strahlung gibt es nicht, auch keinen schwarzen Strahler o.ä.
3) Es gibt nur den unendlichen dreidimensionalen Raum, in dem n >=0 Moleküle (Kugeln) rumfliegen.

Und darauf beziehen sich meine Fragen:
F1)  Wie ist dann die Temperatur in einem Punkt definiert?
F2) Vor allem wenn es in einer Umgebung des Punktes sehr wenige Gasmölekül-Kugeln gibt.
F3) Vor allem wenn es in einer Umgebung des Punktes 0 Gasmolekül-Kugeln gibt.
Wird in diesen Fällen die Definition sinnlos?




P.S wie komme ich denn an die besagte Arbeit von Lions? Wenn ich auf
"https://doi.org/10.2307/1971423" klicke, lande ich stets auf "https://www.jstor.org/stable/1971423" und der alternate access link funktioniert nicht. Auch seine Homepage verweist nur darauf (soweit ich das hingekriegt habe).

Ganz unten auf dieser Seite gibts den Button:
contact us
Ich würde diese Institution einfach mal anmailen.
Vermutlich werden die keine Probleme bereiten.
Es geht hier ja nicht um Kommerz, denn du wirst das Wissen, das in dem Artikel steckt ja nicht verwenden können, um materiell reicher zu werden.
Davon gehe ich zumindest mal aus 😄

mfg
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piquer
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Hallo zusammen,

im Kontext der Boltzmanngleichung ist es wenig sinnvoll, von Punkten im Raum zu sprechen, die ohne Teilchen sind.
Bei der Herleitung der Boltzmanngleichung geht man von einem Gas aus $N$ Teilchen $x_1, \dots, x_N$ aus, die nur miteinander wechselwirken, wenn sie sich näher als einen Abstand $d > 0$ kommen. Modelliert man die Wechselwirkung im Sinne von Billardkugeln, so ist $d$ gerade der Durchmesser der Teilchen. Die Aussage, dass das Gas verdünnt ist, bedeutet gerade, dass die Menge der Positionen, in denen Wechselwirkung stattfindet "sehr klein ist" (maßtheoretisch eine Nullmenge),
$$ F = \{ |x_j(t) - x_i(t)| < d; i,j=1,N \}.
$$ Soweit haben wir nur eine Beschreibung des Gases mithilfe der Newtonschen Gesetze. Um zur Boltzmanngleichung für die Verteilungsfunktion
$$ f : (0,\infty) \times \IR^3 \times \IR^3 \to (0, \infty)
$$ zu kommen, bedarf es des Grenzwerts $N \to \infty$. Das würde aber bedeuten, dass wir den gesamten Raum mit Teilchen ausfüllen. Deshalb muss auch $d$ schrumpften. Die spezielle Skalierung, die zur Boltzmanngleichung führt ist der Boltzmann–Grad–Grenzwert,
$$ N \to \infty, \quad d \to 0, \quad N d^2 = const.
$$ Hieraus (und dem Boltzmannschen Stoßzahlansatz) ergibt sich die Form der Boltzmanngleichung,
$$ \partial_t f + v \cdot \nabla_x f = Q(f, f)
$$ mit dem bilinearen Kollisionsoperator $Q$.
Die Konvergenz ist hier im Sinne von Maßen zu verstehen, d.h. die Interpretation von $f$ den den daraus abgeleiteten Größen ist die einer Wahrscheinlichkeitsgröße. $f$ gibt nur den "wahrscheinlichsten", nicht den exakten Zustands des Gases an. Genauer lässt sich zeigen, dass (unter bestimmten Vor.) die Lösungen der Newtonschen Bewegungsgleichungen unter Verwendung des Boltzmann–Grad–Grenzwerts "am wahrscheinlichsten" gegen die Lösung der Boltzmanngleichung konvergieren.

In diesem Sinne muss man sich bei der Beschreibung der Gasdynamik zuerst auf Annahmen einigen. Willst du nun Temperatur im Sinne der kinetischen Theorie diskutieren, so musst du akzeptieren, dass diese im Grenzwert unendlicher Teilchen hergeleitet wurde.
Physikalische Größen ergeben sich aus $f$ als Integrale über Geschwindigkeitsraum, etwa die Massendichte
$$ \rho(t, x) = m \int_{\IR^3} f(t,x,v) \, \text d v.
$$ Daraus abgeleitet auch die Temperatur über
$$ \frac{3}{2} R \rho(t,x) T(t,x) = m \int_{\IR^3} \frac{|v|^2}{2} f(t,x,v) \, \text d v,
$$ wobei $R$ die Gaskonstante ist.
Wenn also die Massendichte größer null in einem Punkt ist, so kannst du obige Gleichung direkt nach der Temperatur in _einem_ Punkt umstellen.

Die Arbeit von Lions die DiPerna hilft dir bei der Frage zur Temperatur wenig weiter. Dort werden spezielle renormalisierte, distributionelle Lösungen zur Boltzmanngleichung diskutiert.



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Hallo Piquer,
Danke für deine Antwort,

im Kontext der Boltzmanngleichung ist es wenig sinnvoll, von Punkten im Raum zu sprechen, die ohne Teilchen sind.
...
Modelliert man die Wechselwirkung im Sinne von Billardkugeln, so ist $d$ gerade der Durchmesser der Teilchen. Die Aussage, dass das Gas verdünnt ist, bedeutet gerade, dass die Menge der Positionen, in denen Wechselwirkung stattfindet "sehr klein ist" (maßtheoretisch eine Nullmenge),
...
In diesem Sinne muss man sich bei der Beschreibung der Gasdynamik zuerst auf Annahmen einigen. Willst du nun Temperatur im Sinne der kinetischen Theorie diskutieren, so musst du akzeptieren, dass diese im Grenzwert unendlicher Teilchen hergeleitet wurde.

Wenn man unendlich viele Teile hat, dann muß das Gas nicht unverdünnt sein. Aber das nur am Rande.

_Meine_ Annahme in _meinem_ Gedankenexperiment (muß nicht etwas mit den klassischen Annahmen zu tun haben):
Es gibt nur endlich viele Gasmoküle (Kugeln), die einen Durchmesser > 0 haben und die irgendwie im Raum verteilt sind.

Wie ist dann die Temperatur (=Durchschnittsgeschwindigkeit) in einem Punkt definiert (vor allem bei sehr wenigen bzw. 0 Kugeln).
Wird in diesen Fällen eine Definition sinnlos?

mfg
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piquer
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Wenn man unendlich viele Teile hat, dann muß das Gas nicht unverdünnt sein.
Wie meinst du das?


_Meine_ Annahme in _meinem_ Gedankenexperiment:
Es gibt nur endlich viele Gasmoküle (Kugeln), die einen Durchmesser > 0 haben und die irgendwie im Raum verteilt sind.
Wie dir jacha und ich schon erklärt haben, ist die Temperatur eine statistische Größe. Du kannst das Konzept nicht über deine deterministische Bewegung von endlich vielen Kugeln stülpen.


Wie ist dann die Temperatur (=Durchschnittsgeschwindigkeit) in einem Punkt definiert (vor allem bei sehr wenigen bzw. 0 Kugeln).
Siehe meine Erklärung zur kinetischen Theorie: Ist die Dichte 0, so kann man dort keine Temperatur definieren. Die Gleichung zur Bestimmung der Temperatur lautet einfach nur
$$ 0 = 0.
$$

 Wird in diesen Fällen eine Definition sinnlos?
Nicht sinnlos, sondern einfach nur nicht (wohl-) definiert.



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jacha2
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Salut,

nachdem Dein Gedankenexperiment nun hinreichend viele ...
2021-02-03 21:17 - carlox in Beitrag No. 16 schreibt: ...
_Meine_ Annahme in _meinem_ Gedankenexperiment (muß nicht etwas mit den klassischen Annahmen zu tun haben):
Es gibt nur endlich viele Gasmoküle (Kugeln), die einen Durchmesser > 0 haben und die irgendwie im Raum verteilt sind.

Wie ist dann die Temperatur (=Durchschnittsgeschwindigkeit) in einem Punkt definiert (vor allem bei sehr wenigen bzw. 0 Kugeln).
Wird in diesen Fällen eine Definition sinnlos?
...
... empirieferne Annahmen aufweist, sei folgende praxisferne Anleitung zur Bestimmung des Temperaturfeldes \(T(\vec r)\) besagten Systems gegeben:
Ein Streulichtmeßsystem bestimmt an wechselnden Orten nacheinander oder simultan an vielen Orten die Geschwindigkeit der von seinem Sensor erfaßten Gasmoleküle. Oder eben nichts. Dieser Vorgang wird solange fortgeführt, bis die Änderung des Zeit- oder Scharmittels unterhalb der Auflösung der Meßvorrichtung liegt. Dann kann von einem stationären Wert ausgegangen werden, dem man den Wert T am Meßort zuordnet.
Je weniger Moleküle vorliegen bzw. je größer das Systemvolumen ist, desto länger dauert der Meßvorgang.

Man muß dann nicht behaupten, der Temperaturbegriff sei für dünne Gase zusehends sinnlos, es wird nur beliebig unbequem und/oder langwierig, ihn zu bestimmen. Berechnen läßt er sich aber immer noch einfach, indem man einmal die kinetische Molekülenergie bestimmt, die Gültigkeit des Energiesatzes voraussetzt (ideal reflektierende Wände) und das Molekül- zum Gesamtvolumen in Beziehung setzt.

Adieu



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