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Funktionenfolgen und -reihen » Konvergenz » Äquivalenz von Konvergenz fast überall und Reihenkonvergenz
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Universität/Hochschule Äquivalenz von Konvergenz fast überall und Reihenkonvergenz
TheBlueArtist
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2021-01-06


Hallo zusammen

Ich bin momentan leider ein bisschen überfragt bei einer Aufgabe die wir für Maß- und Integrationstheorie bearbeiten sollen 🙁. Und zwar lautet sie:

Sei fed-Code einblenden eine Folge Lebesgue messbarer Funktionen. Dann sind äquivalent:

(i) Es gibt eine Teilfolge fed-Code einblenden die fast überall gegen 0 konvergiert

(ii) Es gibt eine Folge fed-Code einblenden mit fed-Code einblenden , sodass die Reihe fed-Code einblenden für fast alle x konvergiert

(iii) Es gibt eine Folge fed-Code einblenden , sodass fed-Code einblenden und die Reihe fed-Code einblenden für fast alle x absolut konvergiert

Ich stehe leider momentan ziemlich auf dem Schlauch :/. Hätte irgendjemand vielleicht eine Idee oder einen Tipp wie man das angehen könnte? Irgendwie haben sämtliche Sachen die ich schon ausprobiert habe (Satz von Egorov, Beppo Levi, Fatou) nicht wirklich zu einem Ergebnis geführt und solangsam weiß ich leider nicht mehr weiter :(. Den Satz von der majorisierten Konvergenz haben wir leider noch nicht durchgesprochen in der Vorlesung, sodass der leider rausfällt.



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Kampfpudel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2021-01-06


Hey TheBlueArtist und Willkommen.

Bei der Implikation \((i) \Rightarrow (ii)\) ist tatsächlich der Satz von Egorov sehr nützlich. Du musst diesen aber für jedes \(l \in \mathbb{N}\) für etwa \(\varepsilon = \frac{1}{l}\) anwenden. Bedenke, dass die so entstehenden Mengen \(B_l\) mit \(\mu(B_l) < \frac{1}{l}\) die Beziehung \(B_{l+1} \subset B_l\) für alle \(l \in \mathbb{N}\) erfüllen und man daher etwas über das Maß von \(B:= \bigcap\limits_{l \in \mathbb{N}} B_l\) aussagen kann.

Hilft dir das schon weiter?



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TheBlueArtist
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-06


Vielen Dank Kampfnudel :)

Also wenn ich den Satz von Egorov auf die Funktionenfolge für alle k anwende dann müsste die menge die du beschrieben hast   fed-Code einblenden aufgrund der sigma Stetigkeit ja Lebesgue Maß Null haben. Nur leider versteh ich nicht ganz wie das die Existenz der benötigten Folge impliziert :/



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Kampfpudel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2021-01-07


Jap, genau. Jetzt suchst du eine Folge \(a: \mathbb{N} \to \mathbb{R}\), sodass die Reihe \(\sum\limits_{n=1}^{\infty} f_n(x) a_n\) konvergiert für alle \(x \in [0,1] \setminus B\).

Was genau bedeutet es denn, dass für jedes \(l \in \mathbb{N}\) die Funktionenfolge \(f_{n_k}\) gleichmäßig gegen \(0\) auf \([0,1] \setminus B_l\) konvergiert?



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TheBlueArtist
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-07


Naja gleichmäßige Konvergenz bedeutet dann ja, dass fed-Code einblenden für fed-Code einblenden . Und da das Maß der fed-Code einblenden gegen null konvergiert bedeutet das, dass die Teilfolge fast überall gleichmäßig gegen null konvergiert. Aber daraus folgt ja noch nicht die Konvergenz der Reihe fed-Code einblenden fed-Code einblenden oder?



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Kampfpudel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2021-01-07


Da muss man noch ein bisschen arbeiten.

Jetzt ist ja in unserem Fall \(f=0\). Schreiben wir die gleichmäßige Konvergenz mal formaler hin, also:

Für alle \(l \in \mathbb{N}\) gilt:

Für alle \(\varepsilon >0\) existiert ein \(k_l \in \mathbb{N}\), sodass für alle \(k \geq k_l\) gilt: \(|f_{n_k}(x)| < \varepsilon\) für alle \(x \in [0,1] \setminus B_l\).

Genau das muss man jetzt benutzen, um (ii) zu zeigen.



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TheBlueArtist
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-07


Wäre es denn rein theoretisch möglich als folge fed-Code einblenden eine Folge zu nehmen, die null ist für alle folgenglieder fed-Code einblenden die nicht in der Teilfolge fed-Code einblenden sind und einen anderen Wert größer null sonst haben? Dann ist der lim sup der Folge ja größer null und wenn man die restlichen Folgenglieder gut abschätzt müsste die Reihe dann ja konvergieren.



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Kampfpudel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2021-01-07


Die Idee ist schon richtig, vom Prinzip her wählt man sich die Folge \(a_n\) auch so. Nur wenn du wirklich etwa \(a_{n_k}=1\) für alle \(k \in \mathbb{N}\) und \(a_n =0\) falls \(n \neq n_k\) für alle \(k \in \mathbb{N}\), dann wird i.A. die Reihe divergieren, weil noch zu viele Folgenglieder ungleich \(0\) sind. Du musst zu einer noch weiteren, bestimmten Teilfolge übergehen. Für einen Hinweis darauf, wie diese Teilfolge aussieht, siehe noch einmal meinen letzten Beitrag



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TheBlueArtist
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-07


Okay ich glaube ich habs jetzt :). Ich wähle die Folge fed-Code einblenden so, dass fed-Code einblenden fed-Code einblenden und fed-Code einblenden , sowie fed-Code einblenden . Dann kann ich für fed-Code einblenden , die Funktionenfolge durch fed-Code einblenden abschätzen. Und wenn ich das dann aufsummiere ist das ja genau die Geometrische reihe und die konvergiert.



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Kampfpudel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2021-01-07


Noch nicht ganz. Du kannst die Abschätzung von \(|f_{n_k}|\) nach oben nicht abhängig von \(k\) machen, sehr wohl aber abhängig von \(l\). Du kannst dir übrigens dein \(\varepsilon\) explizit (in Abhängigkeit von \(l\)) wählen. Es reicht sogar, die Abschätzung nur für \(k=k_l\) zu benutzen.



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TheBlueArtist
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-07


Also anstatt fed-Code einblenden , müsste ich das mit fed-Code einblenden abschätzen und dann über l statt über k summieren :)?



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Kampfpudel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, eingetragen 2021-01-07


Du kannst besser stattdessen \(\epsilon = \frac{1}{2^l}\) und \(k=k_l\) einsetzen



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TheBlueArtist
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-07


Okay dann werde ich das gleich mal einsetzen :). Vielen lieben Dank für deine Hilfe!!



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