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Funktionenfolgen und -reihen » Konvergenz » Vertauschen Limes und Summe
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Universität/Hochschule J Vertauschen Limes und Summe
th57
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2021-01-11


Hallo,
ich schreib euch einfach mal mein Problem.
Wir betrachten das Lebesgue-Integral, \(f_j\) sind Elementarfunktionen also insb. messbar, \(A_n\) messbare Mengen und \(X\) die Charakteristische Funktion und  damit würde ich gerne:
\[\lim_{j\to\infty}\sum_{n=0}^{\infty}\int_{\Omega}X_{A_n}f_jd\mu = \sum_{n=0}^{\infty}\lim_{j\to\infty}\int_{\Omega}X_{A_n}f_jd\mu\] Also den Limes in die Summe ziehen.
Darf ich das? Wenn ja, warum und falls nicht, gibt es Fälle in denen ich das darf?

LG



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Triceratops
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2021-01-11


Setze $a_{n,j} = \int_{\Omega} \chi_{A_n} f_j \, d\mu$. Es gilt $a_{n,j} \in \IR$. Deine Frage ist, ob

$\displaystyle\lim_{j \to \infty} \sum_{n=0}^{\infty} a_{n,j} = \sum_{n=0}^{\infty} \lim_{j \to \infty} a_{n,j}$

gilt (sofern die Limites existieren). Nach dem Satz von der majorisierenden Konvergenz (Summen sind ja auch nur Integrale) ist das der Fall, sofern es eine Folge $(b_n)$ gibt mit $\sum_{n=0}^{\infty} |b_n| < \infty$ und $|a_{n,j}| \leq |b_n|$ für alle $n,j$.

Aber im allgemeinen Fall muss es nicht stimmen. Betrachte ganz einfach $a_{n,j} = \begin{cases} 1 & n = j \\ 0 & n \neq j \end{cases}$. Dann gilt

$\displaystyle\lim_{j \to \infty} \sum_{n=0}^{\infty} a_{n,j} = \lim_{j \to \infty} 1 = 1,$

aber

$\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \lim_{j \to \infty} a_{n,j} = \sum_{n=0}^{\infty} 0 = 0.$



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th57
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-11


Ok, das Argument habe ich verstanden. Aber dann gibt es keine Möglichkeit die begrenzende Folge \((b_n)\) allgemein für die messbare Funktion \(f\) zu finden oder?
Ich schreibe mal meine gesamte Aufgabe dazu, damit man alles versteht:

\(f\geq0\) messbar zu zeigen:
für paarw. disjunkte Mengen \(A_n\) ist
\[\int_{\Omega}X_{\cup_nA_n}fd\mu = \sum_n\int_{\Omega}X_{A_n}fd\mu\]
Die Gleichheit habe ich schon für Elementarfunktionen gezeigt. Nun kann ich ja nicht negative messbare Funktionen durch Elementarfunktionen approximieren, der Art, das \(f_j\to f\) und \(f_j\leq f_{j+1} \ \forall j\). Damit gilt, dass
\[\int_{\Omega}X_{\cup_nA_n}fd\mu = \lim_{j\to\infty}\int_{\Omega}X_{\cup_nA_n}f_jd\mu \overset{\text{für Elementarfunktionen gezeigt}}{=} \lim_{j\to\infty}\sum_n\int_{\Omega}X_{A_n}f_jd\mu \\ \overset{\text{?}}{=} \sum_n\lim_{j\to\infty}\int_{\Omega}X_{A_n}f_jd\mu = \sum_n\int_{\Omega}X_{A_n}fd\mu\] Nun fehlt mir noch die Begründung für den Schritt mit ?. Also generell passt das bis jetzt so oder fehlt da noch was?
Und wie könnte ich die begrenzende Folge \((b_n)\) für \(f\) konstruieren?

Kleiner Gedanke dazu, ich weiss: \(f_j\nearrow f\) und f nicht negativ also \(\int_{\Omega}X_{A_n}f_jd\mu\leq\int_{\Omega}X_{A_n}fd\mu\) und da \(f\) messbar ist, ist \(\int_{\Omega}X_{A_n}fd\mu\lt\infty\) aber das gibt mir ja noch lange nicht die Konvergenz von \(\sum_n\int_{\Omega}X_{A_n}fd\mu\)

könnt ihr mir damit weiterhelfen?



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Triceratops
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2021-01-11


Dann kannst du mit dem Satz von der monotonen Konvergenz argumentieren (oder einfach mit der Konstruktion des Integrals; es läuft auf dasselbe Hinaus).



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th57
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-12


Ok Danke



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