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Universität/Hochschule J Charakteristisches Polynom AB BA Matrix
EinsPlusEinsIstNull
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2021-01-13 14:25


Ich versuche mich gerade an der folgenden Aufgabe. Falls diese in den tiefen des Forums bereits existiert, bin ich auch einen Link dankbar. Ich habe diese Aufgabe bisher nicht gefunden.

Sei m > n und A \(\in\) Mat(m × n,R), B \(\in\) Mat(n × m,R). Zeigen Sie, dass für die charakteristischen Polynome von AB und BA gilt:


\[p_{AB}(z) = (−z)^{m−n}p_{BA}(z)\]
Als Hinweis ist noch angegeben, dass ich eine folgende Erkenntnis verwenden kann.
fed-Code einblenden

Der Hinweis hilft mir leider bisher nicht weiter.

Meine Erkenntnisse:

Ich hätte folgende Formal anwenden wollen
\[p_{AB}(z) = (-z)^m + Tr(AB) (-z)^{m-1} + \sum \limits_{n=1}^{m}q_n z^n + det(AB)\]
Hierbei ist Tr(AB) die Spur.
Bei uns in der VL wurde q(z) = \(\sum \limits_{n=1}^{m}q_n z^n\) als Polynom vom Grade höchstens m-2 ohne konstanten Term, angegeben
Habe vorhin durch ausprobieren herausgefunden, dass Tr(AB) = Tr(BA), das müsste ich noch fürs allgemeine nachweisen.

1) Ich bin mir im Moment leider aber noch nicht sicher, welche Aussagen ich über det(AB) und det(BA) machen kann.

2) Welche Aussagen ich über die q(z) Terme machen kann. Diese werden ja vermutlich auch nicht einfach so identisch sein.

Habt ihr da den ein oder anderen Hinweis, bzw. bin ich mit meiner Herangehensweise auf dem richtigem Weg.
Danke im Voraus



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qwertzusername
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2021-01-13 21:44


Hallo,

es gibt einen eleganten Ansatz das mit dem Hinweis zu beweisen.
Schreibe die zu zeigende Gleichung als $z^n p_{AB}(z)=z^mP_{BA}(z)$.

Bastele zwei Matrizen C, D (von der Form wie Hinweis) mit det(DC) gleich der linken Seite and det(CD) gleich der rechten Seite.



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StrgAltEntf
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Herkunft: Milchstraße
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2021-01-13 23:10


Hallo EinsPlusEinsIstNull,

könntest du noch mal erläutern, was du mit folgendem meinst?

2021-01-13 14:25 - EinsPlusEinsIstNull im Themenstart schreibt:
Sei m > n und A 2 Mat(m × n,R), B 2 Mat(n × m,R).



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EinsPlusEinsIstNull
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-14 16:19


Hallo zusammen,

vielen Dank für die Kommentare.

@StrgAltEnft:
Den Schreibfehler habe ich verbessert.

@qwertzusername
super, vielen Dank für deinen Beitrag. Mit dem Hinweis konnte ich die Aufgabe lösen :) Vorab war ich wohl etwas auf dem Holzweg.
Da sieht man wie stark Blockmatrizen sind.



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EinsPlusEinsIstNull hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
EinsPlusEinsIstNull hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.
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