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Gewöhnliche DGL » Theorie der Gew. DGL » Anzahl von Lösungen bei Anfangswertproblemen
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Universität/Hochschule Anzahl von Lösungen bei Anfangswertproblemen
Mandacus
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2021-01-13 20:01


Hallo,

ich bin bei einer Aufgabe, bei der es um die Anzahl der Lösungen von Anfangswertproblemen geht, hängen geblieben.

Zeige oder widerlege, dass die folgenden Anfangswertprobleme höchstens eine Lösung besitzen:

(i) $$\begin{cases}
u'(t)=u(t)^2\sin\left(\frac{1}{u(t)}\right), \\
u(0)=0,
\end{cases}
$$  
(ii) $$\begin{cases}
u'(t)=3u(t)^{\frac{2}{3}}, \\
u(0)=0,
\end{cases}
$$
(iii) $$\begin{cases}
u'(t)=u(t)-\text{sgn}(u(t))\sqrt{\vert u(t)\vert}, \\
u(0)=0,
\end{cases}
$$
Ich konnte zeigen, dass (i) keine Lösung und (ii) mehr als eine Lösung hat. Bei (iii) habe ich allerdings noch ein Problem. Ich weiß, dass die Nullfunktion eine Lösung des Anfangswertproblems ist. Ich hatte die Idee zu zeigen, dass die Funktion $f(t,u)=u-\text{sgn}(u) \sqrt{|u|}$ eine Osgood-Bedingung erfüllt. In diesem Fall würde die Existenz von höchstens einer Lösung aus dem Eindeutigkeitssatz von Osgood folgen. Hierzu müsste ich eine Funktion $\omega: [0, \infty) \to \mathbb{R}$ finden mit

$$ |f(t,u)-f(t,v)| \leq \omega(|u-v|)
$$
für alle $t\geq 0, u,v \in \mathbb{R}$ wobei

$$ 1)\omega(0)=0, \ \omega(z)>0 \ \text{für alle} \ z >0 \\
2)\lim_{\varepsilon \to 0} \int_{\varepsilon}^{1} \frac{1}{\omega(z)} dz=\infty.
$$
erfüllt sein müssen. Leider sehe ich noch nicht, wie ich diese wählen kann.



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Wally
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2021-01-13 22:32

\(\begingroup\)\(\newcommand{\D}{\displaystyle}\)
Hallo, Mandacus,

bei (i) und (ii) sieht es richtig aus.

(iii) sieht "aus dem Bauch heraus" nach mehrdeutig aus. Hast du versucht, das zu lösen? Du kannst aus Stetigkeitsgründen ja \( u\ge 0\) annehmen. Vielleicht findest du eine Nicht-Null-Lösung.

Viele Grüße

Wally
\(\endgroup\)


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zippy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2021-01-13 23:21


2021-01-13 20:01 - Mandacus im Themenstart schreibt:
Ich konnte zeigen, dass (i) keine Lösung ... hat.

Wenn du die rechte Seite von (i), also $f(u)=u^2\sin(1/u)$, durch $f(0)=0$ stetig fortsetzt (und das musst du ja tun, um (i) überhaupt als AWP lesen zu können), sagt dann nicht Peano etwas anderes?



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haerter
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2021-01-14 12:44


Bei (i) würde ich auch davon ausgehen, dass die rechte Seite in $u=0$ durch $0$ fortgesetzt wird und dass $u(t)\equiv 0$ dann eine Lösung ist.

Für die Eindeutigkeit würde ich empfehlen, die Ruhelagen/Gleichgewichte der DGL zu betrachten.

Viele Grüße,
haerter  


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"The best way to have a good idea is to have lots of ideas."
 - Linus Pauling



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