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Mathematik » Stochastik und Statistik » Bestimmen der momenterzeugenden Funktion
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Universität/Hochschule J Bestimmen der momenterzeugenden Funktion
julian2000P
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2021-01-13 23:28


Hallo zusammen,

ich betrachte eine Zufallsvariable $N$ die Poisson verteilt ist mit Rate $\theta > 0$ und eine Folge $N(0,i)$ verteilter Zufallsvariablen $X_i$ mit $X_0 = 0$. (Die Folge $X_i$ ist von $N$ unabhängig)

Ich betrachte die Zufallsvariable $Z = X_N$. In einem vorherigen Beispiel konnte ich allgemein schon folgende Gleichung für die Momenterzeugende Funktion von $Z$ zeigen, nämlich:
\[
M_Z(t) = \sum_{k \geq 0} p_k M_{X_k}(t)
\] wobei $M_{X_k}(t)$ die Momenterzeugende von $X_k$ ist und $P(N = k) =: p_k$. Ich soll nun $M_Z(t)$ bestimmen, komme nach langem Umformen aber einfach auf nichts wesentlich besserer als einfach die Definitionen von $p_k$ und $M_{X_k}(t)$ einzusetzen, also:
\[
M_Z(t) = \sum_{k \geq 1} \frac{\theta^k}{k!}e^{-\theta}e^{\frac{1}{2}k^2t^2}
\] Hat eventuell jemand einen Hinweis wie ich gegebene Summe noch weiter vereinfachen kann (falls das überhaupt möglich ist)?
Danke und viele Grüße!



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luis52
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2021-01-13 23:55


Moin, ist $i$ in der Notation $N(0,i)$ die Standardabweichung oder die Varianz? Wenn es die die Varianz ist, so kann man den Grenzwert explizit ausrechnen. Dann steht da naemlich ein $k$ und kein $k^2$.

vg Luis



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julian2000P
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-14 10:12


Hallo Luis,

danke für deine Antwort bzw. den Hinweis! Ja es sollte wie ich jetzt feststelle die Varianz sein, damit ist die Berechnung natürlich kein Problem mehr.




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