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| Autor |
 Ableitung einer Vektor-Matrix-Beziehung |
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schneitzmaster
Wenig Aktiv 
Dabei seit: 19.03.2010
Mitteilungen: 183
Wohnort: Dresden
 |  Themenstart: 2021-01-14
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Hallo liebe Planetarier,
es sei folgende Gleichung gegeben:
\[\vec{a} = \underline{T} \, \vec{b}\]
mit $\vec{a}=[x,y]^T$, $\vec{b}=[x,y,z]^T$ und $\underline{T}
=
\begin{bmatrix}
1 &0 &0 \\
0 &1 &0
\end{bmatrix}
.$
Offensichtlich ist also
\[
\frac{\partial \vec{a}}{\partial \vec{b}} = \underline{T}
\quad.
\]
Ich würde nun gern die Umkehrung dieser Ableitung allgeimen bestimmen, also den Ausdruck
\[
\frac{\partial \vec{b}}{\partial \vec{a}} = ?
\]
ermitteln und zwar nicht durch "einfaches" durchexerzieren, sondern am liebsten in dem ich die Gleichung $\vec{a}=\underline{T}\,\vec{b}$ umstelle.
Leider geht das ja nicht ohne weiteres das $\underline{T}$ keine invertierbare Matrix ist.
Meine Idee war nun mit $\underline{T}^T$ zu multiplizieren, was mir
\[
\underline{T}^T \vec{a} =
\underline{T}^T\underline{T}\vec{b}
=
\begin{bmatrix}
1 &0 &0 \\
0 &1 &0 \\
0 &0 &0
\end{bmatrix}
\vec{b}
\]
gibt.
Damit lässt sich der Vektor $\vec{b}$ leider auch nicht isolieren.
Wie könnte man hier geschickter vorgehen um direkt das Ergebnis
\[
\frac{\partial \vec{b}}{\partial \vec{a}} = \underline{T}^T
\]
zu bekommen?
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 Profil
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StefanVogel
Senior 
Dabei seit: 26.11.2005
Mitteilungen: 4246
Wohnort: Raun
 | Beitrag No.1, eingetragen 2021-01-16
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Hallo schneitzmaster,
die beiden Gleichungssysteme
\(\begin{pmatrix}
1 &0 &0 \\
0 &1 &0
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
a_1 \\
a_2 \\
a_3
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
b_1 \\
b_2
\end{pmatrix}
\)
und
\(
\begin{pmatrix}
1 &0 \\
0 &1 \\
0 &0
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
b_1 \\
b_2
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
a_1 \\
a_2 \\
a_3
\end{pmatrix}
\)
sind nicht äquivalent. Beispielsweise ist \(a_1=a_2=b_1=b_2=0 , a_3=1\) eine Lösung des ersten aber keine Lösung des zweiten Gleichungssystems. Deshalb dürfte es schwer sein, eine Äquivalenzumformung für die Ableitung zu finden. Warum auch? Es gilt doch allgemein in einer Vektor-Matrix-Beziehung y=Ax dass dy/dx=A ist. Das kann man für beide Gleichungssysteme sofort anwenden.
Viele Grüße,
Stefan
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