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Analysis » Integration » Fouriertransformierte eines Maßes
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Universität/Hochschule J Fouriertransformierte eines Maßes
julian2000P
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2021-01-15


Hallo zusammen,

Wir haben für ein endliches positives Borelmaß $\mu$ auf $\mathbb{R}$
\[
\hat{\mu}(z):= \int_{\mathbb{R}}e^{-ixz}\; d\mu(x)
\] als die Fouriertransformierte des Maßes $\mu$ bezeichnet. (Anscheinend ist dies auch die charakteristische Funktion des Maßes $\mu$ aus der Stochastik, wir haben den Begriff hier allerdings in Analysis 3 definiert)

Nun soll ich ein Maß $\mu$ finden sodass $\hat{\mu}$ nicht in $C_0(\mathbb{R})$ liegt, wobei
$C_0(\mathbb{R}):= \{ f:\mathbb{R} \to \mathbb{C}|f \text{ stetig und }\lim_{|x|\to \infty}f(x)=0\}$

Ich bin mir allerdings nun nicht sicher ob ich wirklich nur ein Maß finden soll, oder ein endliches Borelmaß. Für den Fall, dass wirklich nur ein Maß gesucht ist, kann ich doch einfach das Lebesguemaß $\lambda$ nehmen, dann existiert das Integral ja für gar kein $z$ und konvergiert insbesondere nicht gegen 0 wenn $|x| \to \infty$. Stimmt das so?
Gibt es auch ein endliches Borelmaß sodass obige Aussage gilt? Habe zwar schon ein bisschen herumprobiert, aber bin auf nichts gekommen. Ich wäre über einen Hinweis dankbar!

Grüße



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sonnenschein96
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2021-01-15


Hallo julian2000P,

2021-01-15 11:13 - julian2000P im Themenstart schreibt:
Für den Fall, dass wirklich nur ein Maß gesucht ist, kann ich doch einfach das Lebesguemaß $\lambda$ nehmen, dann existiert das Integral ja für gar kein $z$ und konvergiert insbesondere nicht gegen 0 wenn $|x| \to \infty$. Stimmt das so?

Ich glaube nicht, dass das so gemeint war^^ Da machst Du Dir das Leben wohl etwas zu leicht. Du sollst wohl schon ein endliches positives Borelmaß angeben.

Ein typisches Beispiel hierfür ist \(\mu(A)=\int_Af\,d\lambda\) mit \(f\in L^1(\mathbb{R})\) und \(f\geq0\). Dann ist \(\hat{\mu}(z)=\int_{\mathbb{R}}e^{-ixz}f(x)\,d\lambda(x)\), also einfach die Fourier-Transformierte von \(f\) (bis evtl. auf eine Konstante, je nach Definition). In diesem Fall ist aber \(\hat{\mu}\in C_0(\mathbb{R})\), siehe de.wikipedia.org/wiki/Lemma_von_Riemann-Lebesgue
Ziel dieser Aufgabe ist wohl, dass man das Lemma von Riemann-Lebesgue nicht auf endliche positive Borelmaße verallgemeinern kann.

Du kennst doch bestimmt noch andere Maße als das Lebesgue-Maß oder nicht? Welche davon sind endliche positive Borelmaße? Probier an denen doch mal aus, was Du für \(\hat{\mu}\) herausbekommst.



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julian2000P
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-15


Hallo sonnenschein96,

danke für deine Antwort und deinen Hinweis!

Ja, hab schon vermutet, dass es nicht so leicht sein kann.

Danke auch für den Verweis auf das Lemma, damit ist klar warum alle meine bisherigen Versuche nicht funktioniert haben (habe nur endliche Maße mit Dichten bezüglich $\lambda$ versucht).

Dann werde ich das ganze mit dem nochmal versuchen.

Danke nochmal und viele Grüße



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julian2000P
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-16


Hallo,

ich glaube die richtige Lösung gefunden zu haben:

Ich nehme als Borelmaß $\mu := \delta_0$, also
\[
\forall B \in \mathfrak{B}: \; \; \delta_0(B):=
\begin{cases}
1, \; \; 0 \in B \\
0, \; \; \text{sonst}
\end{cases}
\] Damit folgt dann:
\[
\hat{\mu}(z)=\int_{\mathbb{R}} e^{-ixz} \; d\mu(x) = \int_{\mathbb{R}} \cos(xz) - i \sin(xz) \; d\delta_0(x) \\
= \int_{\{0\}}\cos(xz)\; d\delta_0(x) = 1
\] Damit gilt insbesondere $\lim_{|z| \to \infty}\hat{\mu}(z) \neq 0$.

Stimmt das so?

Grüße



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sonnenschein96
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2021-01-16


Ja das stimmt. Allgemeiner kannst Du \(\delta_{x_0}\) für \(x_0\in\mathbb{R}\) betrachten, dann ist \(\widehat{\delta_{x_0}}(z)=e^{-ix_0z}\) für \(z\in\mathbb{R}\) und damit \(|\widehat{\delta_{x_0}}(z)|=1\).



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julian2000P
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-16


Alles klar, dann nochmals vielen Dank für deine Hilfe!



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julian2000P hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
julian2000P hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.
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