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Universität/Hochschule J Dreiecksmatrizen links-erblich
Kezer
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2021-01-15

\(\begingroup\)\(\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}\)
Hi,

nach Wikipedia ist der Ring der Dreiecksmatrizen $A = \begin{pmatrix} \Q & \Q \\ 0 & \Z \end{pmatrix}$ links-erblich (= left-hereditary). Das Linksideal $$I  = Ae_{12} := A\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & \Q \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$$ scheint mir allerdings nicht projektiv zu sein: Wenn es projektiv wäre, wäre $A \to I, a \mapsto ae_{12}$ split epi, also $I$ ein direkter Summand von $A$. Entsprechend wäre $I = Ae$ für ein idempotentes Element $e \in A$. Allerdings alle nicht-trivialen Elemente in $I$ nicht idempotent (sondern nilpotent).

Wo liegt mein Fehler?


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The difference between the novice and the master is that the master has failed more times than the novice has tried. ~ Koro-Sensei
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Triceratops
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2021-01-15


Du hast die Aussage "$e_{1,2} : A \to I$ ist ein gespaltener Epimorphismus" (aus der zumindest folgt, dass es einen gespaltenen Monomorphismus $I \to A$ gibt) mit der Aussage "Die Inklusion $I \to A$ ist ein gespaltener Monomorphismus" verwechselt.

Übrigens ist $I \to A$, $\begin{pmatrix} 0 & a \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \mapsto \begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ (rechnet man nach) $A$-linear und rechtsinvers zu $e_{1,2} : A \to I$. Daher ist $I$ projektiv.



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Kezer
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-15

\(\begingroup\)\(\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}\)
I see! Es ist $I \cong Ae$ und nicht $I = Ae$.

Danke, das hat mir mal wieder sehr geholfen.


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