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Universität/Hochschule J Beweis Gruppe
rtu
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2021-01-16


Guten Tag,

bei folgender Aufgabe finde ich nicht heraus, wie ich zeige, dass die Gruppe abgeschlossen ist.

Aufgabe:
Sei ⟨G, ⊕⟩ eine Gruppe. Für ein beliebiges a ∈ G sei ha : G → G definiert durch: ha(x) =df a ⊕ x.
(a) Zeigen Sie, dass H =df {ha | a ∈ G}
mit der üblichen Funktionskomposition, also ⟨H, ◦⟩, eine Gruppe ist.
Hinweis: Die Assoziativität der Funktionskomposition ◦ ist bekannt. Es ist daher die Abgeschlossenheit von T bezüglich ◦ zu untersuchen

Mein Verständnis der Aufgabe:
Für Abgeschlossenheit muss gelten: ∀ a, b ∈ H. a ⊕ b = c ∈ H.
Hier ist H die Menge der ha mit der Eigenschaft, dass a ∈ G ist. Also haben alle Elemente in H die Form a ⊕ x, da ja nichts weiter über ⊕ bekannt ist.
Nun ist zu zeigen, dass gilt: (a ⊕ x) ◦ (a ⊕ x) = (a ⊕ x)

Habe ich das richtig verstanden?

Für Hilfe vielen Dank vorab.

Viele Grüße

rtu



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tactac
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2021-01-16

\(\begingroup\)\(\newcommand{\sem}[1]{[\![#1]\!]} \newcommand{\name}[1]{\ulcorner#1\urcorner} \newcommand{\upamp}{\mathbin {⅋}}\)
Die Elemente von H sind Funktionen $G \to G$.
\(\endgroup\)


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rtu
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-16


Ok, wäre dann folgendes eine korrekte Lösung?

Es muss gelten:  ∀ ha, ha' ∈ H. ha ◦ ha' = ha'' ∈ H. Also:

ha ◦ ha' = ha(ha') = ha(a ⊕ x) = a ⊕ (a ⊕ x) = ha''


Wie kann ich denn sicher wissen, dass das Ergebnis in H liegt? Kann ich mir das so vorstellen?
Sei:
y = (a ⊕ x) ∈ H
also auch a ⊕ y ∈ H ?



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tactac
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2021-01-16

\(\begingroup\)\(\newcommand{\sem}[1]{[\![#1]\!]} \newcommand{\name}[1]{\ulcorner#1\urcorner} \newcommand{\upamp}{\mathbin {⅋}}\)
$a\oplus x$ mit $a,x \in G$ ist nie in $H$, da $H$ eine Menge von Funktionen $G \to G$ ist.

Um zu zeigen, dass $H$ unter Komposition abgeschlossen ist, musst du zeigen, dass für alle $a,a' \in G$ ein $a'' \in G$ existiert mit $h_a \circ h_{a'} = h_{a''}.$
Dazu bietet es sich an, $(h_a \circ h_{a'})(x)$ für beliebiges $x$ auszurechnen und dann ein bisschen kreativ zu werden, um folgende Gleichungskette zu vervollständigen: $$\begin{array}{rcll}
(h_a \circ h_{a'})(x) &=& h_a(h_{a'}(x)) & \text{Def. }\circ
\\&=& h_a(a' \oplus x) & \text {Def. }h_{a'}
\\&=& ...
\\&=& h_{??}(x) & \text {Def. }h_{??} & \square
\end{array}$$
\(\endgroup\)


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rtu
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-16


Hi tactac,

kann man das so machen? Oder ist das zu kreativ?

(ha∘ha′)(x) = ha(ha′(x))      | Def ∘
            = ha(a′⊕ x)      | Def ha′
            = a ⊕ (a′⊕ x)   | Def ha
            = (a ⊕ a′) ⊕ x  | Assoziativität
            = a′′ ⊕ x        | Sei a′′ = (a ⊕ a′)
            = ha′′(x)         | Def ha′′              □

Gruß

rtu
                                                     



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tactac
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2021-01-16


Ich würde a‘‘ vorher definieren (oder gar nicht verwenden). Und natürlich fehlt noch Text drumherum, der die Gleichungskette mit dem in Beziehung setzt, was zu zeigen ist.



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rtu
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-16


Vielen Dank, das hat mir geholfen.

Noch eine Frage zum Beweis für das (rechts)inverse Element.
Wenn ich zeigen möchte, dass gilt:
a ◦ a^-1 = e , zeige ich es dann folgendermaßen?

ha(x) ◦ ha^-1(x) = (ha ◦ ha^-1)(x)  | Def rechtsinverses Element
                 = ha(ha^-1(x))     | Def ◦
                 = ha(a^-1 ⊕ x)     | Def ha^-1
                 = a ⊕ (a^-1 ⊕ x)  | Def ha
                 = (a ⊕ a^-1) ⊕ x  | Assoziativität
                 = e ⊕ x           | ?
                 = x                | ?
                 = id(x)            | ?

Bei den letzten schritten weiß ich nicht so recht, ob das so richtig sein kann.



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tactac
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2021-01-16

\(\begingroup\)\(\newcommand{\sem}[1]{[\![#1]\!]} \newcommand{\name}[1]{\ulcorner#1\urcorner} \newcommand{\upamp}{\mathbin {⅋}}\)
"ha(x) ◦ ha^-1(x)" ist Unsinn, weil links und rechts vom ◦ Elemente von $G$ stehen, und wir nicht davon ausgehen können, dass das Funktionen sind.

Um von Rechtsinversen sprechen zu können, müsstest du wissen, was das neutrale Element in $H$ ist. (Ja, das ist $\mathrm{id}_G$; dass $\mathrm{id}_G = h_e$ spielt dabei nur in so fern eine Rolle, dass $\mathrm{id}_G \in H$.)
Um zu zeigen, dass jedes Element von $H$ ein rechtsinverses in $H$ hat, musst du zeigen, dass es für jedes $a \in G$ ein $a' \in G$ gibt mit $h_a \circ h_{a'} = \mathrm{id}$.
Dazu kann man einfach raten, dass $a' = a^{-1}$ sein könnte und dann mit deiner Gleichungskette (am Anfang leicht modifiziert!) weitermachen.
(Und die drei Fragezeichen sind sowas wie "Def. Inverse", "Def. e", "Def. id")
\(\endgroup\)


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