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Universität/Hochschule Initialtopologie und Unterraumtopologie
Math_user
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2021-01-16


Guten Abend :)

Ich stecke bei folgender Aufgabe fest:
Sei $f_i:X \to X_i$, $i \in I$ eine Familie von Funktionen in topologische Räume $X_i$. Weiter sei $A\subset X$ eine Teilmenge und $\iota_A:A \to X$ die Inklusionsabbildung. Wir nehmen nun an, dass $X$ die Initialtopologie bezüglich der Familie $(f_i)_{i \in J}$ trägt und möchten zeigen, dass die Unterraumtopologie von $A$ mit der Initialtopologie bezüglich der Familie $\{f_i \circ \iota_A\}$ übereinstimmt.

Da ich noch relativ neu bin, steht da in einem ersten Moment viel arabisch. Was ich verstehe, ist dass ich zeigen soll das $\mathcal{O}_I=\mathcal{O}_A$ gilt. Wenn ich mit $\mathcal{O}_I$ die Initialtopologie bezeichne und mit $\mathcal{O}_A$ die Unterraumtopologie.

Nun haben wir die Initialtopologie definiert als: $X$ trägt die Initialtopologie bezüglich der Abbildung $f_i$, wenn $X$ die gröbste Topologie hat, s.d. für alle $f_i:X \to X_i$ stetig ist.

Auch haben wir den Satz:
Sei $X$ eine Menge und $f_i:X \to X_i$ eine Familie von Abbildungen von topologischen Räumen. Dann trägt $X$ die Initialtopologie bezüglich $f_i$ $\iff$ für alle $Y$ topologische Raum und $g:Y \to X$ stetig gilt $f_i \circ g$ ist stetig.

Aber ich sehe nicht, wie ich diese Aufgabe bewältigen soll. Kann mir bitte jemand weiterhelfen?

Vielen Dank für eure Hilfe und einen guten Abend!
Math_user



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Triceratops
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2021-01-16


Du hast den Satz falsch wiedergegeben. $X$ trägt die Initialtopologie bezüglich der $f_i$ genau dann, wenn für alle topologischen Räume $Y$ gilt, dass eine Abbildung $g : Y \to X$ genau dann stetig ist, wenn $f_i \circ g : Y \to X_i$ für jedes $i$ stetig ist. Beachte die Unterschiede zu deiner Formulierung, und mache dir klar, warum diese Unterschiede von Bedeutung sind.

Die vorliegende Aufgabe lässt sich mit der hier vorgestellten Methode ohne Probleme erledigen.

Der erste Schritt besteht also für dich darin, dir die Definitionen hinzuschreiben (und evtl. Fragen dazu zu klären). Und dann musst du damit die Behauptung umschreiben (bisher hast du sie lediglich hingeschrieben, ohne irgendetwas damit zu machen).
 
Also wir statten $A$ mit der Teilraumtopologie aus und zeigen, dass damit die universelle Eigenschaft der initialen Topologie (das ist das, was euer Satz aussagt) erfüllt ist. Dafür beweise zunächst das folgende (sowieso nützliche) Lemma (was letztlich aussagt, dass der Teilraum $A$ die initiale Topologie bezüglich $\iota_A$ trägt):

Lemma. Sei $Y$ ein topologischer Raum. Eine Abbildung $g : Y \to A$ ist genau dann stetig, wenn $\iota_A \circ g : Y \to X$ stetig ist.
 
Der Beweis ergibt sich von selbst, wenn du die Definition von Stetigkeit und die Definition der Teilraumtopologie benutzt.

Bei der Aufgabe müssen wir uns ebenfalls eine Abbildung $g : Y \to A$ vorgeben und zeigen, dass sie genau dann stetig ist, wenn alle $f_i \circ \iota_A \circ g$ stetig sind. Jetzt bist du dran:

- Was sagt dir das Lemma?
- Was sagt dir die Voraussetzung, also dass $X$ die initiale Topologie bezüglich der $f_i$ trägt?

Wenn du dir das hinschreibst, ist der der Beweis schon fertig.



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Math_user
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-19


Guten Morgen Triceratops

Vielen Dank für deine sehr ausführliche Antwort. Jeder Anfang ist schwer aber ich versuche mein Bestes. Auch danke, für den Hinweis bezüglich dem Satz. Natürlich ergibt dieser so mehr Sinn und der Inhalt ist ein ganz anderer.

Zum Beweis des Lemmas schlage ich folgendes vor. Eine Seite ist ganz einfach:
- Sei $g$ stetig, dann ist natürlich $\iota_A \circ g$ als Komposition von stetigen Funktionen wieder stetig.

- Für die andere Seite betrachten wir: Sei $\iota_A \circ g$ stetig und sei $B= A \cap U \stackrel{\circ}{\subseteq} A$ (also offen per Definition der Teilraumtopologie, wobei $U$ offen in $X$ ist). Dann gilt: $g^{-1} \, (B)= g^{-1} \, (A) \cap (i_A \circ g)^{-1} \, (U)=Y \cap (i_A \circ g^{-1})\,(U)=(i_A \circ g)^{-1}\,(U)\stackrel{\circ}{\subseteq} Y $. Dies heisst aber $g$ ist stetig und wir sind fertig.

2021-01-16 21:39 - Triceratops in Beitrag No. 1 schreibt:
Bei der Aufgabe müssen wir uns ebenfalls eine Abbildung $g : Y \to A$ vorgeben und zeigen, dass sie genau dann stetig ist, wenn alle $f_i \circ \iota_A \circ g$ stetig sind.

Benutzten wir das bewiesene Lemma so folgt wir haben die Äquivalenz genau dann, wenn die Komposition $\iota_A \circ g$ stetig ist. Nun trägt $X$ die Initialtopologie bezüglich der $f_i$, was heisst mit dem Satz von oben:
2021-01-16 21:39 - Triceratops in Beitrag No. 1 schreibt:
für alle topologischen Räume $Y$ gilt, dass eine Abbildung $g : Y \to X$ genau dann stetig ist, wenn $f_i \circ g : Y \to X_i$ für jedes $i$ stetig ist.
Nehmen wir alles zusammen ergibt es:
$g: Y \to A$ ist genau dann stetig, wenn $\iota_A \circ g: Y \to X$ stetig ist, was aber genau dann stetig ist $X$ die Initialtopologie bezüglich der $f_i$ trägt, wenn $f_i \circ \iota_A \circ g$ stetig ist für jedes $i$.

Dies zeigt die Äquivalenz. Stimmt mein Vorgehen?



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Triceratops
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2021-01-19 08:37 - Math_user in Beitrag No. 2 schreibt:
$g^{-1} \, (B) \color{red}{=} g^{-1} \, (A) \cap (i_A \circ g)^{-1} \, (U)=Y \cap (\color{red}{i_A \circ g^{-1}})\,(U)=(i_A \circ g)^{-1}\,(U)\stackrel{\circ}{\subseteq} Y $

Das ist noch nicht richtig bzw. unvollständig (rot markiert).


$g: Y \to A$ ist genau dann stetig, wenn $\iota_A \circ g: Y \to X$ stetig ist, was aber genau dann stetig ist $X$ die Initialtopologie bezüglich der $f_i$ trägt, wenn $f_i \circ \iota_A \circ g$ stetig ist für jedes $i$.

Hier fehlt das Wort "weil" (und ein Komma).



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Math_user
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-20


Tatsächlich stimmt irgendetwas da nicht. Ich versuche es nochmals:
Sei $\iota_A \circ g$ stetig. Wir haben, dass für alle $U$ offen ist $X$ idst, $(\iota_A \circ g)^{-1}(U)$ offen. Für alle $B \subset A$ offen gilt, $B=A \cap U$ ist offen in $A$.
$$g^{-1}(B)=g^{-1}(A \cap U)=g^{-1}(\iota_A^{-1}(U))\overset{(1)}{=}(\iota_A \circ g)^{-1}(U)$$ Wobei wir $(1)$ haben, da gilt, dass $\iota_A^{-1}(U)=A \cap U$. Sprich die Umkehrabbildung der Inklusionsabbildung schränkt $U$ auf $A$ ein, was aber heisst $U \cap A$.
Stimmt nun mein Ansatz?



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Triceratops
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In dem einen Satz sagst du, dass alle offenen Teilmengen von $A$ offen in $A$ sind. Du meinst wohl etwas anderes. Und die falsche Gleichung ist mit (1) beschriftet. Jedenfalls bezieht sich deine Begründung wohl auf die Gleichung davor.



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