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  Stereographische Projektion, Sphäre |
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Majazakava
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Dabei seit: 07.06.2020
Mitteilungen: 76
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Hii, ich verstehe diese Aufgabe leider nicht: Die Abbildung: \phi: \IR^n -> \IR^(n+1), x |-> (2/(1+norm(x)^2)*x, 1-2/(1+norm(x)^2)) Die Sphäre: \IS^n:={x\el\ IR^(n+1): norm(x) = 1} Ich soll zeigen, dass \phi(\IR^n)= \IS^n \\{(0,...,0,1)} gilt. Leider habe ich überhaupt keine Idee, wie ich da rangehen soll. Kann mir jemand Ansätze dafür geben? Vielen Dank für jede Hilfe LG Majazakava
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Triceratops
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Dabei seit: 28.04.2016
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 |      Beitrag No.1, eingetragen 2021-01-16
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Du hast die Definition von $\varphi$ nicht richtig wiedergegeben (der Wert dort hat $2n$ Einträge, es sollten aber $n+1$ sein.) Korrigiere das bitte.
Die eine Richtung, also $\varphi(\IR^n) \subseteq S^n \setminus \{(0,\dotsc,0,1)\}$, rechnet man einfach mit den Definitionen nach. Wo hakt es da?
Zur Umkehrung: Sei $y = (y_0,y_1,\dotsc,y_n) \in S^n \setminus \{(0,\dotsc,0,1)\}$. Du willst ein $x \in \IR^n$ finden mit $\varphi(x) = y$. Per Definition von $\varphi$ bedeutet diese Gleichung was? Löse nun einfach zuerst nach $||x||$ (mit dem letzten Eintrag) und anschließend nach $x$ auf (mit den ersten $n$ Einträgen).
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Majazakava
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Mitteilungen: 76
|  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-17
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Hallo Triceratops,
den Fehler habe ich bereits verbessert, danke dafür.
Bei der Aufgabe hatte ich einen blöden Denkfehler gehabt, womit ich es dann nicht lösen konnte.
Jetzt hab ich's verstanden, danke hier für Deine Hilfe.
LG
Majazakava
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Majazakava
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Mitteilungen: 76
| Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-17
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Ich hätte da noch eine Frage zur Aufgabe.
Ich soll zeigen, dass \(\varphi\) injektiv ist.
Dass \(d\varphi\) injektiv ist, habe ich mit der Jacobi Matrix gezeigt, aber ich weiß nicht, wie ich es bei \(\varphi\) zeige.
Erst wollte ich, dass mit der Linearität zeigen, aber das ging bei mir nicht.
Nach der Definition von Injektivität habe ich es auch versucht.
Für \(\varphi(x)=a\) und \(\varphi(y)=b\)
\[\varphi(x) = \varphi(y) <=> \left(
\begin{array}{c}
\frac{2}{1+\|x\|^2}x \\
1-\frac{2}{1+\|x\|^2} \\
\end{array}
\right) = \left(
\begin{array}{c}
\frac{2}{1+\|y\|^2}y \\
1-\frac{2}{1+\|y\|^2} \\
\end{array}
\right)...
\]
Wenn ich das analog, wie bei der a) mache, (wo ich nach x und \(\|x\|\) auflöse und das dann einsetze), dann komme ich auf \(...a=b\) (gilt \(\varphi\) injektiv damit schon?)
Ich habe die Vermutung, dass das der falsche bzw nicht der beste Ansatz ist, aber habe leider auch keinen besseren.
Kann mir hier jemand helfen?
Vielen Dank im Vorfeld
LG
Majazakava
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Triceratops
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Mitteilungen: 5576
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| Beitrag No.4, eingetragen 2021-01-17
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Aus $\varphi(x)=\varphi(y)$ folgt zunächst $||x|| = ||y||$ (betrachte den letzten Eintrag) und schließlich $x=y$ (betrachte die ersten $n$ Einträge).
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Majazakava
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Mitteilungen: 76
| Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-17
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Danke,
Ich hab komplett verpeilt, dass ich die Einträge einzeln vergleichen darf/soll.
Den Rest der Aufgabe konnte ich damit jetzt lösen. :D
LG Majazakava
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