Matroids Matheplanet Forum Index
Moderiert von Curufin epsilonkugel
Mathematik » Analysis » Gleichung lösen
Druckversion
Druckversion
Autor
Universität/Hochschule J Gleichung lösen
Walross
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 01.01.2021
Mitteilungen: 31
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2021-01-17


Man bestimme alle Lösungen der folgenden Gleichung:

\(\sin(1992\cdot\pi^2\cdot x^{-1})=\sec(x)\)



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
sonnenschein96
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 26.04.2020
Mitteilungen: 346
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2021-01-17


Hallo Walross,

es wäre schön, wenn Du eine etwas ausführlichere Frage formulieren könntest, mit einem "Hallo" beginnen würdest und schreiben würdest, was Du Dir bis jetzt für Gedanken gemacht hast.

Ich nehme an, dass Du alle \(x\in\mathbb{R}\setminus((\frac{\pi}{2}+\mathbb{Z}\pi)\cup\{0\}))\) bestimmen sollst, die diese Gleichung erfüllen? Eine entscheidende Beobachtung ist wohl, dass \(|\sin(1992\pi^2x^{-1})|\leq1\) ist und \(|\sec(x)|\geq1\) ist. Damit kann Gleichheit nur gelten, falls \(\sin(1992\pi^2x^{-1})=\sec(x)=1\) oder \(\sin(1992\pi^2x^{-1})=\sec(x)=-1\). Als nächstes würde ich mir dann überlegen, für welche \(x\) denn \(\sec(x)\in\{-1,1\}\) ist und dann schauen, was \(\sin(1992\pi^2x^{-1})\) für diese \(x\) ist.



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Walross
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 01.01.2021
Mitteilungen: 31
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-17


Hallo sonnenschein96,
vielen Dank für den Tipp. Damit werde ich es versuchen.
Gruß Walross



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
sonnenschein96
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 26.04.2020
Mitteilungen: 346
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2021-01-17


Falls ich mich auf die Schnelle nicht verrechnet habe, sind hier die Ergebnisse zur Überprüfung:


Die Gleichung besitzt genau die beiden Lösungen \(x_1=16\pi\) und \(x_2=3984\pi\).




Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Walross
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 01.01.2021
Mitteilungen: 31
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-17


Ich habe es inzwischen auch gelöst. Deine beiden Lösungen sind korrekt, es gibt allerdings insgesamt vier:


Es gilt für $x\in\mathbb{R}\backslash[\{\frac{\pi}{2}+2\cdot k\cdot\pi\mid k\in\mathbb{Z}\}\cup\{0\}]$:
$\sin\left(\frac{1992\cdot\pi^2}{x}\right)=\frac{1}{\cos(x)}\\
\Leftrightarrow\sin\left(\frac{1992\cdot\pi^2}{x}\right)\cdot\cos(x)=1$
Wegen der Beschränktheit von Sinus- und Kosinusfunktion durch $1$ ergeben sich ausschließlich die folgenden beiden Fälle:

Fall 1:

$\sin\left(\frac{1992\cdot\pi^2}{x}\right)=\cos(x)=1\\
\Leftrightarrow\frac{1992\cdot\pi^2}{x}=\frac{\pi}{2}+2\cdot p\cdot\pi~\land~x=2\cdot q\cdot\pi,~p\in\mathbb{Z},~q\in\mathbb{Z}\backslash\{0\}\\
\Leftrightarrow \frac{1992\cdot\pi^2}{2\cdot q\cdot\pi}=\frac{\pi}{2}+2\cdot p\cdot\pi\\
\Leftrightarrow 1992=q+4\cdot p\cdot q\\
\Leftrightarrow 2^3\cdot 3\cdot 83=q\cdot(1+4\cdot p)$

Lösungsmenge für $(p,q)$: $\{(-21,-24),(-1,-664),(0,1992),(62,8)\}$
$x=2\cdot q\cdot\pi$, also $x\in\{-48\cdot\pi,-1328\cdot\pi,3984\cdot\pi,16\cdot\pi\}$

Fall 2:

$\sin\left(\frac{1992\cdot\pi^2}{x}\right)=\cos(x)=-1\\
\Leftrightarrow \frac{1992\cdot\pi^2}{x}=\frac{3\cdot\pi}{2}+2\cdot p\cdot\pi~\land~x=\pi+2\cdot q\cdot\pi,~p,q\in\mathbb{Z}\\
\Leftrightarrow \frac{1992\cdot\pi^2}{\pi+2\cdot q\cdot\pi}=\frac{3\cdot\pi}{2}+2\cdot p\cdot\pi\\
\Leftrightarrow 1992=\frac{3}{2}+2\cdot p+3\cdot q+4\cdot p\cdot q$

Keine Lösungen, da $p,q\in\mathbb{Z}$.

Lösungsmenge der Gleichung:

$L=\{n\cdot\pi\mid n\in\{-1328,-48,16,3984\}\}$



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
sonnenschein96
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 26.04.2020
Mitteilungen: 346
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2021-01-17


2021-01-17 01:52 - Walross in Beitrag No. 4 schreibt:
Deine beiden Lösungen sind korrekt, es gibt allerdings insgesamt vier:

Ja upsi^^ Ich hatte aus irgendeinem Grund bei Fall \(1\) nur \(q>0\) betrachtet und \(q<0\) vergessen... Gut dass Du es nochmal nachgerechnet hast.

Diese \(4\) Lösungen sollten aber jetzt wirklich alle sein.



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Walross
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 01.01.2021
Mitteilungen: 31
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-17


Ja, das denke ich auch. Vielen Dank nochmal.



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Walross hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Walross hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.
Walross wird per Mail über neue Antworten informiert.
Neues Thema [Neues Thema]  Druckversion [Druckversion]

 


Wechsel in ein anderes Forum:
 Suchen    
 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2021 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP that seems no longer to be maintained nor supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]