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Universität/Hochschule J Konvergenz von Reihen
Francesco
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2021-01-17


Guten Abend,

ich soll folgende Reihe auf Konvergenz untersuchen

$$ \sum\big(\frac{n}{n+1}\big)^{n^2}
$$
komme auch zu einer Lösung, bin mir jedoch unsicher ob diese richtig ist, deshalb frage ich nach. Meine Lösungsidee wäre:

$$ \sum\big(\frac{n}{n+1}\big)^{n^2}
$$
Anwenden des Wurzelkriteriums:

Sei $$a_n=\big(\frac{n}{n+1}\big)^{n^2}$$ es folgt:

$$ \sqrt[n]{\vert a_n\vert }=\sqrt[n]{\vert\big(\frac{n}{n+1}\big)^{n^2}\vert}=\vert\big(\frac{n}{n+1}\big)^n \vert=\vert\big(\frac{n+1}{n}\big)^{-n}\vert=\vert(1+\frac{1}{n})^{-n}\vert=\vert\frac{1}{(1+\frac{1}{n})^{n}}\vert
$$ $$ \lim\limits_{n \rightarrow\infty}\vert\frac{1}{(1+\frac{1}{n})^{n}}\vert=\frac{1}{e}\le1\Rightarrow\sum\big(\frac{n}{n+1}\big)^{n^2}~\text{konvergiert}
$$
Liebe Grüße
Francesco



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Diophant
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Herkunft: Rosenfeld, BW
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2021-01-17

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo,

das sieht alles gut aus. 👍

Man könnte sich auch zunächst auf das allgemeine Reihenglied konzentrieren und sich klarmachen, dass dieses von unten her gegen \(\frac{1}{e}\) strebt. Dann könnte man die geometrische Reihe mit \(q=\frac{1}{e}\) als konvergente Majorante heranziehen.

Das nur als alternative Begründung. An deiner Rechnung gibt es nichts auszusetzen.

EDIT: doch, eine Kleinigkeit. Du solltest am Ende \(\frac{1}{e}<1\) schreiben, denn nur für einen Limes superior echt kleiner 1 folgt ja die Konvergenz.


Gruß, Diophant


[Verschoben aus Forum 'Analysis' in Forum 'Folgen und Reihen' von Diophant]
\(\endgroup\)


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Kuestenkind
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2021-01-17


Huhu Francesco,

das sieht gut aus!

Gruß,

Küstenkind

[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]



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Francesco
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-17


Vielen Dank. :)



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