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Universität/Hochschule J Für welche p ist das Integral endlich?
Schmiegquadrik
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2021-01-18


Hallo liebe Matheplanetarier,

ich sitze gerade an folgender Aufgabe aus der Maß- und Integrationstheorie :

Entscheiden Sie, für welche $p \in \mathbb{R}$ die folgenden Integrale in $d$-Dimensionen ($d\geq 2$) endlich sind
$$1.) \,\int_{B(0,1)} |x|^p \, d\lambda_d (x) \hspace{40pt} 2.) \, \int_{\mathbb{R}^2 \setminus B(0,1)} |x|^p \, d\lambda_d (x).$$ Dabei bezeichnet $B(0,1)$ die $d$-dimensionale Einheitskugel.

Ich habe mich bisher nur mit dem 1. Integral beschäftigt und einfach mal versucht das auszurechnen. Dafür habe ich zunächst auf n-dimensionale Kugelkoordinaten transformiert und kam dann auf einen Ausdruck der Form:
$$\frac{2\pi}{p+d} \cdot \int_0^\pi \int_0^\pi \, ... \, \int_0^\pi \sin^{d-2}(\theta_1) \cdot \sin^{d-3}(\theta_2) \cdot \, ... \, \cdot \sin (\theta_{d-2}) \,\, d\theta_1 d\theta_2 ... d\theta_{d-2}.$$
Die Integrale über $\theta_1$, $\theta_2$, ... , $\theta_{d-2}$ sollten ja eigentlich alle ein endliches Ergebnis liefern, da $\sin$ stetig und beschränkt ist, oder? Reicht es dann also nur den Vorfaktor $\frac{1}{p+d}$ zu betrachten? Und wenn ja, dann weiß ich trotzdem nicht so richtig wie die Argumentation weitergeht.

Ich wäre dankbar, wenn mir jemand erstmal sagen kann, ob das soweit erstmal Sinn ergibt. Ein kleiner Tipp, wie es weitergeht wäre natürlich auch schön.



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Wally
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2021-01-18


Hallo,

ja, das ist sinnvoll.

Rechne mal den eindimensionalen Fall aus, dann wirst du vermutlich erleuchtet werden.

Viele Grüße

Wally



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Schmiegquadrik
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-18


Ok, vielen Dank erstmal.

Für den eindimensionalen Fall darf $p$ nicht kleiner als $0$ werden. Die Vermutung wäre also, dass das immer so sein muss.

Aber wie lässt sich das mit
$$\frac{2\pi}{p+d} \cdot \int_0^\pi \int_0^\pi \, ... \, \int_0^\pi \sin^{d-2}(\theta_1) \cdot \sin^{d-3}(\theta_2) \cdot \, ... \, \cdot \sin (\theta_{d-2}) \,\, d\theta_1 d\theta_2 ... d\theta_{d-2}$$ erklären?🤔



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Wally
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2021-01-18


Rechne nochmal.

Viele Grüße

Wally



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Schmiegquadrik
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-18


Haha das war jetzt peinlich, hab mich etwas verwirren lassen.
Natürlich kann das Integral nur für $p>-d$ endlich sein. Dann ergibt es auch alles Sinn.
Vielen Dank nochmal für die Erleuchtung @Wally! 🙂



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