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Mathematik » Stochastik und Statistik » unbekannter Operator
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sulky
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2021-01-19


Hallo Zusammen,

Ich verstehe den Operator $\land$ nicht.

Aufgetreten ist dieser im Zusammenhang von Stopzeiten und im Haltesatz von Doob.

Was bedeutet bei zwei Stopzeiten $S,T$ der Ausdruck $S\land T$?


Insbesondere ist im Beispiel einer Irrfahrt $T\land n$ beschränkt.
Dabei ist $T=inf\{n\ge 1;S_n=1\}$ und $S_n=\sum_{k=1}^n{X_k}$ und $X_k\to \{-1,1\}$

$T$ und $n$ sind offensichtlich nicht beschränkt, $T\land n$ aber schon.



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ochen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2021-01-19


Hallo,

$S\wedge T$ ist in der Stochastik üblicherweise das Minimum von $S$ und $T$.



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sulky
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-19


Hallo Ochen, vielen Dank für die schnelle Antwort.

Gleich zu beginn des Kurses steht ein Lemma welches besagt dass $f\land g:=min(f,g)$ unter gewissen Bedingungen.
Aber ich kann die Bedingungen nicht lesen weil ich dort schon nicht weiss was $\land$ bedeutet.


Ist aber $\land$ das Minimum, so verstehe ich $T\land n$ nicht

Beim genannten Beispiel ist ja $T$ sowieso immer grössergleich $n$.
Ausserdem wäre $T\land n$ ja sicher nicht beschränkt.



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ochen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2021-01-19


Hallo,
kannst du bitte noch die originale Aufgabenstellung schicken? Mir ist nicht klar, wie $n$ bei dir definiert ist.



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sulky
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-19


Zwei Spieler spielen "Kopf oder Zahl".
Spieler A setzt einen Euro auf Kopf und spielt so lange bis sein gesamtgewinn 1 Euro beträgt.

Sei $S_n=X_1+...+X_n$

Wobei $X_k\to \{-1,1\}$ die Zufallsvariablen sind, welche den $k$-ten Wurf beschreiben und wie folgt verteilt sind:
$p\delta_1+(1-p)\delta_{-1}$

Sei $Z_n$ die Zuvallsvariable, definiert durch $Z_0=1$ und

$Z_n=(\frac{1-p}{p})^{S_n}$ für $n\ge 1$.

Weiter sei $\mathcal{F}_n=\sigma(X_1,...,X_n)$

a) Zeige dass die Folge $(Z_n)_{n\ge 1}$ ein Martingal ist bezüglich der Filtrierung $(\mathcal{F})_{n\ge 1}$


b) Sei $T=inf\{n\ge 1;S_n=1\}$
Zeige dass $T$ eine Stopzeit ist und $T\land n$ auch



In Teilaufgabe c) wird bereits der Haltesatz von Doob angewendet mit der Begründung dass $T\land n$ beschränkt ist.

Meiner Meinung nach ist weder $T$ noch $n $ beschränkt und daher auch $T\land n$ nicht



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zippy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2021-01-19


2021-01-19 18:26 - sulky in Beitrag No. 4 schreibt:
Meiner Meinung nach ist weder $T$ noch $n $ beschränkt und daher auch $T\land n$ nicht

$n$ bezeichnet irgendeine feste Zahl $n$. Also ist $T\land n$ durch die Konstante $n$ beschränkt.



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sulky
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-19


Hallo Zippy,

Ach so, jetzt verstehe ich.
Wenn ein Euro gewonnen ist,  dann ist fertig, wenn aber um Mitternacht das Casino schliesst und der Euro noch nicht gewonnen ist wird das spiel trotzdem beendet.

Dann werde ich jetzt diese Aufgabe nochmals erneut ansehen.



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sulky
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-19


Das ist nun klar.

Vielen Dank Ochen und Zippy



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sulky hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
sulky hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.
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