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Analysis » Topologie » M ist keine Untermannigfaltigkeit
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Universität/Hochschule M ist keine Untermannigfaltigkeit
Math_user
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2021-01-20


Guten Tag

Ich betrachte folgende Menge und möchte wissen, ob es sich um eine Untermannigfaltigkeit handelt:
$$M:=\{(x,y)\in \Bbb R^2: x\cdot y=0\}$$ $M$ ist ja nichts anderes als der Schnitt der $x-$Achse und der $y-$Achse. Mein Gefühl sagt mir, dass $M$ z.B. aufgrund des Punktes $(0,0)$ keine Untermannigfaltigkeit ist aber ich leider fehlen mir die konkreten Ansätze.
Vielen Dank für euere Hilfe!



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Vercassivelaunos
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2021-01-20

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Hallo Math_user,

nimm eine hinreichend kleine, konvexe offene Umgebung von $(0,0)$ geschnitten mit $M$. Wenn $M$ tatsächlich eine Untermannigfaltigkeit wäre, dann müsste es ein $n\in\mathbb N$ geben, sodass diese Menge homöomorph zu einer offenen Teilmenge des $\mathbb R^n$ ist. Nun hat diese Menge aber die Eigenschaft dass sie:

a) zusammenhängend ist,
b) es einen Punkt gibt (den Ursprung), sodass die Menge nach Entfernen dieses Punktes vier Zusammenhangskomponenten hat.

Nun ist jede offene Teilmenge des $\mathbb R^n$, zu der diese Menge homöomorph sein kann, zusammenhängend. Zusammenhängende offene Teilmengen des $\mathbb R^n$ haben aber nach Entfernung eines einzelnen Punktes:

a) keine Zusammenhangskomponente für $n=0$,
b) zwei Zusammenhangskomponenten für $n=1$,
c) eine Zusammenhangskomponente für $n\geq2$.

Viele Grüße
Vercassivelaunos
\(\endgroup\)


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