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Universität/Hochschule J Glatte Familie von Einbettungen
Manuel_772018
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2021-01-20


Hallo allerseits,

ich hänge seit geraumer Zeit an einem unscheinbaren Problem fest, mir will der Beweis nicht so recht gelingen..

Es geht um folgende Situation:

Sei $V\subset\mathbb{R}^n$ eine offene Umgebung der $0$ und $F:V\times [0,1]\to\mathbb{R}^n$ glatt, mit $F(0,t)=0$ für alle $t$. Außerdem sei $F\vert_{V\times \{t\}}$ für jedes $t$ eine Einbettung.

Aufgrund der Gebietsinvarianz ist dann jedes $V_t:=F(V\times\{t\})$ eine offene Umgebung von $0$ im $\mathbb{R}^n$. Ich brauche nun ein positives $r>0$, sodass der offene $r-$Ball um den Ursprung im Schnitt der $V_t$ enthalten ist.
Mein erster Versuch war ein Widerspruchsbeweis; Wenns so ein $r$ nicht gibt, dann lassen sich Folgen $(t_n)_n\subset [0,1]$ und $(x_n)_n\subset\mathbb{R}^n$ konstruieren, wobei $x_n$ gegen $0$ konvergiert. Die Folge $t_n$ muss eine gegen $t_0\in [0,1]$ konvergente Teilfolge besitzen, damit hätte ich gern gezeigt, dass $V_{t_0}$ nicht offen sein kann, was mir jedoch nicht geglückt ist.

Vielleicht ist mein zweiter direkter Ansatz besser: Ich würde gern zu jedem $t_0\in [0,1]$ ein $\delta$ und $r$ finden, sodass für jedes $t\in U_\delta(t_0)$: $U_r(0)\subset V_t$. Wenn mir das gelingt, ist der Rest klar, aufgrund der Kompaktheit des Einheitsintervalls.

Ich wäre sehr dankbar, wenn mir jemand helfen könnte, den Beweis zuende zu führen :)

Viele Grüße, Manuel



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Manuel_772018
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-23





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