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Lineare Algebra » Matrizenrechnung » Symmetrisch positiv definite Matrix durch ein Vektorpaar bestimmen
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Universität/Hochschule Symmetrisch positiv definite Matrix durch ein Vektorpaar bestimmen
loop_
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2021-01-20


Liebe MMPler,

Sei $(x,y)$ mit $x,y\in\mathbb{R}^n$ ein Vektorpaar mit der Eigenschaft  $x^Ty > 0$.

Ich suche eine Möglichkeit eine symmetrisch positiv definite Matrix $A\in \mathbb{R}^{n\times n}$ zu bestimmen, sodass $Ax = y$.

Hierzu habe ich schon herausgefunden, dass man eine (näherungsweise exakte) Matrix findet durch

$A =\frac{x^Ty}{||x||^2} y y^T$.

Jedoch sollte die Matrix darüberhinaus die Eigenschaft erfüllen, dass für die Elemente der Matrix gilt $a_{i,j} > 0$ für $i \neq j$ (bzw. noch bessere wäre für alle $i,j$).

Hat da jemand einen Tipp für mich, wie ich das am Besten anstellen kann?





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StefanVogel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2021-01-23


Hallo loop_,
als erste Lösung erhalte ich

\(A =\frac{1}{x^Ty} y y^T\).

Anschließend würde ich durch Probieren ein geeignetes \(B\) mit \(Bx=0\) suchen und addieren. Beispiel

\(x = \begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}, y = \begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}, A=\frac{1}{2} \begin{pmatrix}1 &-1\\-1&1\end{pmatrix}, B=\begin{pmatrix}1 &1\\1&1\end{pmatrix}, A+B = \frac12 \begin{pmatrix}3 &1\\1&3\end{pmatrix} \text{positiv definit}\).

Viele Grüße,
  Stefan




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loop_
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-24


Das ist ein sehr sehr guter Ansatz. Ich müsste mal überlegen, ob man einen Algorithmus oder eine Formel herleiten kann, um solch eine Matrix  $B$ ohne Probieren erzeugen zu können.



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loop_ hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
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