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 Lokaler Fehler bei linearem Mehrschrittverfahren |
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kingdingeling
Aktiv 
Dabei seit: 24.09.2017
Mitteilungen: 516
Herkunft: Berlin
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Liebe Mitglieder,
ich habe eine wirklich sehr große Verständnislücke, bei der ich eure Hilfe bräuchte. Es geht dabei um Hintergrundwissen bei Beweisen zum lokalen Fehler bei Mehrschrittverfahren.
Hier die Definition des Konsistenzfehlers:
Hier die Definition des lokalen Fehlers und ein dazugehöriges Lemma:
Wir haben $x(t) \in \mathbb{R}^m$ und ebenfalls ist $f(x(t),t)$ eine Funktion die aus $\mathbb{R}^m \times \mathbb{R}^m$ nach $\mathbb{R}^m$ abbildet. Alpha und beta sind hier Konstanten und die Schrittweite $h$ sind ebenfalls konstant und auch konstanten. Was ich einfach nicht verstehe ist, weshalb das $B_n$ eine Matrix ist und weshalb auch $\alpha_{n0}$ mit der Einheitsmatrix multipliziert werden muss. Der Beweis ist relativ verständlich, man bildet die Differenz der Gleichungen für den Konsistenzfehler und den lokalen Fehler und wende den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung an. Allerdings bin ich vollkommen überfordert, wieso $B_n$ eine Matrix ist (welcher Dimension), denn die Ableitung von $f$ nach $x$ ist doch ein Vektor wieder aus $\mathbb{R^m}$ und das Integral ist doch dann komponentenweise angewand dachte ich? Irgendwo muss ich mich gewaltig irren und wäre euch sehr dankbar für eure Hilfe!
//Edit: Habe ich hier etwa übersehen, dass $x(t)$ nach $\mathbb{R}^m$ abbildet und deshalb hier eine $m x m$ Jakobi Matrix entsteht bei der Ableitung von $f$ nach $x$?
Liebe Grüße und ein schönes Wochenende, KingDingeling
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piquer
Senior 
Dabei seit: 01.06.2013
Mitteilungen: 478
 |      Beitrag No.1, eingetragen 2021-01-23
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Hi!
//Edit: Habe ich hier etwa übersehen, dass $x(t)$ nach $\mathbb{R}^m$ abbildet und deshalb hier eine $m x m$ Jakobi Matrix entsteht bei der Ableitung von $f$ nach $x$?
Ja, so ist es. Ich gehe davon aus, dass ihr das System
$$
x'(t) = f\big( x(t), t \big)
$$
für $x : [0, T] \to \IR^m$ und $f : \IR^n \times [0, T] \to \IR^m$ betrachtet. Dann ist für fixes $t$ $f(\cdot, t)$ eine vektorwertige Abbildung von $\IR^m$ nach $\IR^m$, weshalb ihre Linearisierung eine $m \times m$-Matrix ist. Die Einheitsmatrix ist nötig, da alle Komponenten von $\hat x_n$ mit $\alpha_{n0}$ multipliziert werden (erste Zeile in Definition 3.13), was sich in der Matrix-Vektor-Schreibweise in Lemma 3.14 in die Multiplikation mit der skalierten Einheitsmatrix übersetzt.
Viele Grüße
Torsten
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kingdingeling
Aktiv
Dabei seit: 24.09.2017
Mitteilungen: 516
Herkunft: Berlin
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-23
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2021-01-23 09:53 - piquer in Beitrag No. 1 schreibt:
Hi!
//Edit: Habe ich hier etwa übersehen, dass $x(t)$ nach $\mathbb{R}^m$ abbildet und deshalb hier eine $m x m$ Jakobi Matrix entsteht bei der Ableitung von $f$ nach $x$?
Ja, so ist es. Ich gehe davon aus, dass ihr das System
$$
x'(t) = f\big( x(t), t \big)
$$
für $x : [0, T] \to \IR^m$ und $f : \IR^n \times [0, T] \to \IR^m$ betrachtet. Dann ist für fixes $t$ $f(\cdot, t)$ eine vektorwertige Abbildung von $\IR^m$ nach $\IR^m$, weshalb ihre Linearisierung eine $m \times m$-Matrix ist. Die Einheitsmatrix ist nötig, da alle Komponenten von $\hat x_n$ mit $\alpha_{n0}$ multipliziert werden (erste Zeile in Definition 3.13), was sich in der Matrix-Vektor-Schreibweise in Lemma 3.14 in die Multiplikation mit der skalierten Einheitsmatrix übersetzt.
Viele Grüße
Torsten
Lieben Dank für diese Antwort und Erklärung!
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