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Mechanik » Statik des starren Körpers » Trägheitsmomente eines Quaders
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Universität/Hochschule J Trägheitsmomente eines Quaders
Mandacus
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2021-01-23


Hallo,

ich habe leider ein Problem mit einer Aufgabe bei denen es um die Trägheitsmomente eines Quaders geht.



Bei a) bekomme ich, da ich mich hier im Hauptachsensystem befinde, eine Diagonalmatrix der Form

$$ I=\begin{pmatrix}
\frac{m}{12} b^2 & 0                & 0                      \\
0                & \frac{m}{12} a^2 & 0                      \\
0                & 0                & \frac{m}{12} (a^2+b^2) \\
\end{pmatrix}
$$  

Ich habe jetzt eine Frage zu b). Das neue Koordinatensystem ist ja um $\theta$ ggü. dem ursprünglichen Koordinatensystem gedreht. Ich habe mir nun folgendes überlegt. Ich betrachte die Drehmatrix

$$ S=\begin{pmatrix}
\cos(\theta)  & -\sin(\theta) & 0 \\
-\sin(\theta) & \cos(\theta)  & 0 \\
0             & 0             & 1 \\
\end{pmatrix}
$$
und die Transformation

$S I S^{-1}$.  

Sei $\vec{n}$ der Einheitsvektor, der die $x'$-Achse aufspannt. Würde dann nicht $\vec{n}^T (S I S^{-1}) \vec{n}$ das gewünschte Trägheitsmoment liefern?  



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StefanVogel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2021-01-24


Hallo Mandacus,
dann musst du \(\vec{n}\) in Koordinaten des neuen Koordinatensystems einsetzen, was auf Ablesen eines Matrixeintrages hinausläuft. Du kannst auch schon im ursprünglichen Koordinatensystem \(\vec{n}^T I \vec{n}\) rechnen. Beide Berechnungsvarianten unterscheiden sich nur im unterschiedlichen Setzen der Klammern (\(\vec{e}\) soll Einheitsvektor in Richtung Koordinatenachse sein)

\(\vec{n} = S \vec{e}\),

\(S^T=S^{-1}\),

\(\vec{n}^T I \vec{n} = \left(S^{-1} \vec{e}\right)^T I \left(S^{-1} \vec{e}\right) = \vec{e}^T \left(S^{-1}\right)^{T} I S^{-1} \vec{e} = \vec{e}^T \left(S I S^{-1} \right) \vec{e}\)

Viele Grüße,
  Stefan




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Mandacus hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.
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