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Funktionentheorie » Holomorphie » Existiert solch eine Funktion?
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Universität/Hochschule J Existiert solch eine Funktion?
Math_user
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2021-01-24


Guten Morgen zusammen

Ich befasse mich aktuell mit folgender Frage: Sei $A:=\{(x,y) \in \Bbb R^2\,:\; |x|,|y|>1\}$. Existiert nun eine ganze Funktion $f: \Bbb C \to \Bbb C$, s.d. $f(0)=0$ gilt und wenn wir $\Bbb C$ mit $\Bbb R^2$ identifizieren, per $z=x+iy$, gilt $|f(x,y)|>1$ für alle $(x,y) \in A$?

Ich dachte ich versuche es per Widerspruch und betrachte die Funktion
$$g(x,y)= \frac{1}{f(x,y)}$$ Diese wäre auf $A$ durch 1 beschränkt und irgendwie möchte ich nun eine Widerspruch erhalten mit $f(0)=0$. Bin ich auf dem richtigen Weg? Aber wie kann ich nun argumentieren?



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Wally
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2021-01-24

\(\begingroup\)\(\newcommand{\D}{\displaystyle}\)
Hallo,

wie wäre es mit \( f(z)=z^2\)? Oder übersehe ich was?

Viele Grüße

Wally
\(\endgroup\)


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StrgAltEntf
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2021-01-24

\(\begingroup\)\(\newcommand{\D}{\displaystyle} \newcommand{\D}{\displaystyle}\)
2021-01-24 09:35 - Wally in Beitrag No. 1 schreibt:
wie wäre es mit \( f(z)=z^2\)? Oder übersehe ich was?

Oder f(z) = z?
\(\endgroup\)


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Phoensie
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2021-01-28

\(\begingroup\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}}             % Natürliche Zahlen \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}             % Ganze Zahlen \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}             % Rationale Zahlen \newcommand{\R}{\mathbb{R}}             % Reelle Zahlen \newcommand{\C}{\mathbb{C}}             % Komplexe Zahlen \newcommand{\ord}{\mathrm{ord}}         % Gruppenordnung \newcommand{\indep}{\perp \!\!\! \perp} % Stochastische Unabhängigkeit (Symbol)\)
Im Grunde genommen könnte man das sogar ein wenig verallgemeinern:

Sei $n \in \N^*$ und definiere $f:\C \to \C$ mittels $f(z)=z^n$. Dann gilt
\[
f(0) = 0^n = 0
\] und für alle $z \in A$ ist $|z|>1$. Folglich haben wir
\[
|f(z)|
= |z^n|
= |z|^n
> 1^n
= 1.
\] Da $f$ ein Polynom ist, ist die Abbildung auf ganz $\C$ holomorph (mit Ableitung $f'(z)=nz^{n-1}$).
\(\endgroup\)


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Math_user
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-28


Vielen Dank für eure Antworten! Ich sah die einfachsten Sachen nicht mehr!



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