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Funktionenfolgen und -reihen » Konvergenz » Gleichmäßige Konvergenz einer alternierenden Funktionenreihe untersuchen
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Universität/Hochschule Gleichmäßige Konvergenz einer alternierenden Funktionenreihe untersuchen
Schnubelub
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  Themenstart: 2021-01-24

Hallo, ich stecke bei folgender Aufgabe: Sei sum(f_n,n=1,\inf)=sum((-1)^n x/n,n=1,\inf) eine Funktionenreihe auf [-1,1] nach \IR. Untersuche die Funktionenreihe auf punktweise, gleichmäßige und absolute Konvergenz. Mit der punktweisen und absoluten Konvergenz hatte ich keine Schwierigkeiten. Das habe ich so zeigen können: Da sum((-1)^n x/n,n=1,\inf)=sum(x*(-1)^n 1/n,n=1,\inf)<=sum((-1)^n 1/n,n=1,\inf)<\inf für alle x im Definitionsbereich, konvergiert nach dem Majorantenkriterium sum((-1)^n x/n,n=1,\inf) punktweise. Da die Supremumsnorm von f_n gleich 1/n ist, und sum(1/n,n=1,\inf) divergiert, ist sum((-1)^n x/n,n=1,\inf) nicht absolut konvergent. Bei der gleichmäßigen Konvergenz stecke ich leider: Zu untersuchen wäre ja sup{ sum((-1)^k x/k,k=1,n)-f(x) : x\el\ [-1,1]}. Ich habe schon herausgefunden dass die Reihe sum((-1)^n x/n,n=1,\inf) gegen -ln(2) konvergiert. Also wäre die Grenzfunktion in diesem Falle f(x)=-ln(2)*X. Ich weiß jedoch nicht ganz wie ich mit der Partialsumme sum((-1)^k x/k,k=1,n) umgehen sollte. Hab auch unser Skript angeschaut und dort ist nur der Beweis mit dem Leibniz Kriterium, dass die alternierende Reihe konvergiert, vorzufinden. Der Grenzwert wird dort nicht ermittelt, -ln(2) habe ich aus dem Internet. Habe bei vorigen Beispielen meistens das Weierstraß-Kriterium benutzt, um von der absoluten Konvergenz einer beschränkten Funktionenreihe auf die gleichmäßige Konvergenz schließen zu können. Das geht bei dieser Aufgabe natürlich nicht mehr. Bedanke mich schon vorab für jegliche Ansätze oder Tipps wie ich auf die gleichmäßige Konvergenz untersuchen könnte.


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Wally
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-01-24

Hallo, guck dir noch mal den Beweis des Leibniz-Kriteriums an, ob da nicht eine Fehlerabschätzung mit drin ist. Viele Grüße Wally


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Schnubelub
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-24

Danke für deine Antwort! Leibniz Kriterium wurde mit dem Dirichletschen Kriterium hergeleitet. Und dann steht nur, dass die alternierende harmonische Reihe nach dem Leibniz Kriterium (da 1/n Nullfolge) konvergiert. Das Dirichletsche Kriterium wurde dadurch bewiesen, dass es nach oben abgeschätzt wurde und somit nach dem Cauchyschen Kriterium konvergiert. Ich sehe leider noch nicht ganz wie mir das bei meinem Beispiel helfen sollte. Ich denke ich sollte es lösen können ohne den genauen Grenzwert der alternierenden harmonischen Reihe zu kennen.


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Schnubelub
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  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-24

Was meinst du genau mit Fehlerabschätzung?


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Wally
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  Beitrag No.4, eingetragen 2021-01-24

\(\begingroup\)\(\newcommand{\D}{\displaystyle}\) Wenn \( \D \sum_{k=1}^\infty (-1)^k a_k\) nach Leibniz gegen \( s \) konvergiert, ist \( \D | \sum_{k=1}^n (-1)^k a_k-s|\le a_n \). Viele Grüße Wally \(\endgroup\)


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Schnubelub
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  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-24

Ah danke dir!


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