Sei sum(f_n,n=1,\inf)=sum((-1)^n x/n,n=1,\inf) eine Funktionenreihe auf [-1,1] nach \IR. Untersuche die Funktionenreihe auf punktweise, gleichmäßige und absolute Konvergenz.

Da sum((-1)^n x/n,n=1,\inf)=sum(x*(-1)^n 1/n,n=1,\inf)<=sum((-1)^n 1/n,n=1,\inf)<\inf für alle x im Definitionsbereich, konvergiert nach dem Majorantenkriterium sum((-1)^n x/n,n=1,\inf) punktweise.

Da die Supremumsnorm von f_n gleich 1/n ist, und sum(1/n,n=1,\inf) divergiert, ist sum((-1)^n x/n,n=1,\inf) nicht absolut konvergent.

Zu untersuchen wäre ja sup{ sum((-1)^k x/k,k=1,n)-f(x) : x\el\ [-1,1]}.

Ich habe schon herausgefunden dass die Reihe sum((-1)^n x/n,n=1,\inf) gegen -ln(2) konvergiert. Also wäre die Grenzfunktion in diesem Falle f(x)=-ln(2)*X.

Ich weiß jedoch nicht ganz wie ich mit der Partialsumme sum((-1)^k x/k,k=1,n) umgehen sollte. Hab auch unser Skript angeschaut und dort ist nur der Beweis mit dem Leibniz Kriterium, dass die alternierende Reihe konvergiert, vorzufinden. Der Grenzwert wird dort nicht ermittelt, -ln(2) habe ich aus dem Internet. Habe bei vorigen Beispielen meistens das Weierstraß-Kriterium benutzt, um von der absoluten Konvergenz einer beschränkten Funktionenreihe auf die gleichmäßige Konvergenz schließen zu können. Das geht bei dieser Aufgabe natürlich nicht mehr.