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Universität/Hochschule Trigonometrisches Polynom mit Fehler kleiner als x bestimmen
Tamref
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2021-01-26


Ich habe folgende Aufgabe in der Numerik I gestellt bekommen:

Gegeben:
\[ f: [-\pi,\pi ] \rightarrow \mathbb{R}_{\geq 0}, f(x)=|x|\]
Bestimmen Sie ein trigonometrisches Polynom \(p\) so, dass der Fehler in der Maximumsnorm kleiner als \(10^{-2}\) ist.

In der VL haben wir zunächst das Fourier-Polynom n-ten Grades eingeführt als

\[p_n(x)=\frac{1}{2}a_0 + \sum_{k=1}^n (a_k cos(kx) + b_k sin(kx))\]
Später hatten wir dann wie man die Koeffizienten über Integrale bestimmt, diese haben wir dann, da es sich um eine Numerik VL handelt mittels der Formlen:

\[\overline{a}_k = 2/N \sum_{j=0}^{N-1} f(x_j)cos(kx_j)\] \[\overline{b}_k = 2/N \sum_{j=0}^{N-1} f(x_j)sin(kx_j)\]
wobei

\[ N \in \mathbb{N},\quad h=\frac{2\pi}{N},\quad x_j=jh=\frac{2\pi}{N}j,\quad j=0,\cdots,N\]

Dazu stellen sich mir folgende Fragen:
1. Gibt es einen Weg vorher zu wissen/schätzen wie ich \(N\) wählen muss?

2. Selbst wenn ich \(N\) passend wähle, sehe ich momentan nicht wie ich den Fehler in der Maximumsnorm bestimmen kann. Da die Quellmengeein reellwertiges Intervall ist gibt es überabzählbar viele Werte für die ich den Abstand zwischen \(p\) und \(f\) bestimmen müsste und \(p\) ist schon für relativ kleines \(N\) nicht mehr simpel genug um verlässlich Aussagen über das Verhalten treffen zu können. (Ich glaube Punkt 2 ist eigentlich einfach und ich steh grad heftig aufm Schlauch, eigentlich muss ich ja nur das Maximum einer Funktion auf einem Intervall bestimmen, nur kommt es mir merkwürdig vor hier eine Kurvendiskussion zu führen).


VG Tamref



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