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 Reproduzierender Kern im Nicht-Hilbertraum |
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jlw
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Dabei seit: 06.06.2020
Mitteilungen: 32
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Hallo,
wir hängen jetzt seit langer Zeit an folgender Aufgabe:
Seien \(D \neq \emptyset\), \(H\) ein Unterraum von \(Abb(D,\mathbb{K})\), wobei \(\mathbb{K} \in \{\mathbb{R}, \mathbb{C} \}\) und \(\langle \cdot, \cdot \rangle\) ein Skalarprodukt auf \(H\). Eine Abbildung \(K: D \times D \to \mathbb{K}\) heißt reproduzierender Kern, falls \(K(\cdot, t) \in H\) und \(\forall f \in H: \langle f, K(\cdot, t) \rangle = f(t)\) für alle \(t \in D\) gilt.
Zeigen Sie: \(H_0 = span\{K(\cdot,t): t \in D\}\) liegt dicht in \(H\).
Falls \(H\) ein Hilbert-Raum ist, ist die Aufgabe sehr einfach, da \(H_0^{\bot} = \{0\}\). Was ist aber, wenn \(H\) kein Hilbertraum ist? Wir schaffen es einfach nicht, die Dichtheit von \(H_0\) zu zeigen. Uns kam in den Sinn, dass aus der Existenz eines reproduzierenden Kerns bereits die Vollständigkeit folgt. Idee für einen möglichen Beweis war eine Cauchyfolge \((f_n)_n\) in \(H\) zu betrachten. Wir haben bereits gezeigt, dass die Punktauswertungen \(p_t: H \to \mathbb{K}: f \mapsto f(t)\) für alle \(t \in D\) stetig sind. So erhält man einen punktweisen Grenzwert \(f: D \to \mathbb{K}\). Da wäre jetzt halt noch die Konvergenz von \((f_n)_n\) gegen \(f\) zu zeigen, damit die Vollständigkeit von H gilt.
Wir wären für jeden Tipp sehr dankbar.
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jlw
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Dabei seit: 06.06.2020
Mitteilungen: 32
|      Beitrag No.1, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-26
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Wir haben mittlerweile herausgefunden, dass aus der Existenz eines solchen reproduzierenden Kerns nicht bereits die Vollständigkeit folgt:
Betrachte dazu \(H=c_{00}(\mathbb{K})\) mit dem \(\ell_2\)-Skalarprodukt. Dann ist \(K: \mathbb{N} \times \mathbb{N} \to \mathbb{K}: (s,t) \mapsto \delta_{st}\) ein reproduzierender Kern, \(H\) aber nicht vollständig.
Dann stellt sich jetzt also die Frage, wie sich im Nicht-Vollständigen Fall zeigen lässt, dass \(H_0\) dicht in \(H\) liegt.
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Triceratops
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Mitteilungen: 5460
Herkunft: Berlin
 |  Beitrag No.2, eingetragen 2021-01-27
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Du schreibst, dass $H_0$ dicht in $D$ sein soll, gemeint ist aber in $H$.
In der Literatur dazu habe ich immer als Annahme gefunden, dass $H$ ein Hilbertraum sein soll. Vielleicht ist die Aussage also falsch.
Auf SE/3223047 wird ein Beispiel eines Prähilbertraumes $H$ mit einem Unterraum $U \subseteq H$ genannt, der $U^{\perp} = 0$ erfüllt, aber nicht dicht ist. Kann man damit etwas machen?
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jlw
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Mitteilungen: 32
| Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-27
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Ja, ich meinte natürlich dicht in \(H\). Wir haben die Theorie der reproduzierenden Kerne auch nur für Hilberträume gefunden, weshalb wir kurzzeitig dachten, dass es die Kerne wie gesagt nur in Hilberträumen gibt. Das genannte Beispiel zeigt aber, dass es auch in nicht vollständigen Prähilberträumen geht und auch da liegt \(H_0\) dicht in \(H\). Auf die von dir gepostete Seite sind wir tatsächlich auch schon gestoßen, was uns zu unserem Beispiel geführt hat.
Die Dichtheit (falls die Aufgabe denn stimmt) kommt also wohl nicht nur davon, dass \(H_0^{\bot} = \{0\}\), sondern hat auch was mit der Kerneigenschaft zu tun.
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