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Logik, Mengen & Beweistechnik » Aussagenlogik » Aussagenlogik; Symbol bei Kontradiktion
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Kein bestimmter Bereich Aussagenlogik; Symbol bei Kontradiktion
Magma93
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2021-01-26


Hallo,



Es geht mir um das Symbol $\perp$. Dieses Symbol bedeutet in dem Zusammenang, dass P (wahr) teilfremd von P (nicht wahr) ist. Das heißt, sie gehören nicht zusammen, und wenn man sie doch zusammenbringt, so ist die Gesamtaussage falsch (widersprüchlich).

1. Frage:

Es gilt: $ P \wedge \neg P $.
Kann man das auch so schreiben?
$ P \perp \neg P $

Danke für die Hilfe.



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tactac
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2021-01-26

\(\begingroup\)\(\newcommand{\sem}[1]{[\![#1]\!]} \newcommand{\name}[1]{\ulcorner#1\urcorner} \newcommand{\upamp}{\mathbin {⅋}}\)
Nein, wenn dann $\bot$. Das steht für "die falsche Aussage". Analog steht $\top$ für "die wahre Aussage".
\(\endgroup\)


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Magma93
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-26


Hallo tactac,

danke dir.
Du hast geschrieben, dass ich es nicht so $ P \perp \neg P $ darstellen kann.

2. Frage:

Wie kann ich es mathematisch logisch verknüpfend sonst darstellen?
Denn du hast ja nur geschrieben:


Nein, wenn dann $\bot$.




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tactac
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2021-01-26

\(\begingroup\)\(\newcommand{\sem}[1]{[\![#1]\!]} \newcommand{\name}[1]{\ulcorner#1\urcorner} \newcommand{\upamp}{\mathbin {⅋}}\)
$\bot$ ist eine 0-stellige Verknüpfung, bekommt also 0 Operanden, statt 1 wie $\lnot$ oder 2 wie $\land$.
$A \land \lnot A$ ist äquivalent zu $\bot$.
\(\endgroup\)


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Triceratops
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2021-01-26


Du verwechselst hier zwei verschiedene Kategorien. $\wedge$ ist ein binärer Operator zwischen Aussagen. Sprich, du kannst für je zwei Aussagen $A,B$ eine neue Aussage $A \wedge B$ bilden. Aber $\bot$ ist kein binärer Operator, es handelt sich um eine Konstante (die man folglich als nullstellige Verknüpfung ansehen könnte). Du könntest (und das wird es auch im Kontext von Heyting-Algebren) auch $0$ für das Falsum $\bot$ schreiben, und analog $1$ für das Verum $\top$.

Nun ist es "zufälligerweise" so, dass $\bot$ und $P \wedge \neg P$ für jede Aussage logisch zueinander äquivalent sind. Oder (manche Texte tun das) man definiert $\bot$ auf diese Weise (wobei dann aber die Abhängigkeit von $P$ unschön ist).

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.2 begonnen.]



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Triceratops
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2021-01-26


@tactac:



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tactac
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2021-01-27


2021-01-26 23:51 - Triceratops in Beitrag No. 5 schreibt:
@tactac:



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Magma93
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-27


Hallo tactac und Triceratops,

danke euch für die Hilfe. Ich habe es nun verstanden, und hätte aber trotzdem noch eine 3. Frage, die ich nach der Zusammenfassung stellen werden.

Zusammenfassung:

Die Junktoren $\vee$, $\wedge$, $\Rightarrow$ und $\iff$ sind binäre (zweistellige) Operatoren, weil sie jeweils zwei Operanden (Aussagen) miteinander verknüpfen (in Beziehung bringen). Der gesamte Ausdruck nennt sich dann eine binäre Verknüpfung (zweistellige Verknüpfung). Als Beispiel:
\[\underbrace{A}_{Operand} \underbrace{\vee}_{Operator} \underbrace{B}_{Operand}\] \[A \wedge B\] \[A \Rightarrow B\] \[A \iff B\] Daneben gibt es auch einstellige Operatoren, wie den Negator $\neg$. Dieser kann auf nur eine Aussage (atomare Aussage) jeweils geknüpft sein. Als Beispiel:
                                 \[\underbrace{\neg}_{Operator} \underbrace{A}_{Operand}\]
Und weiterhin haben wir nullstellige Operatoren (als Beispiel $\bot$ und sehr viele andere), die keine Aussagen miteinander verknüpfen können, sondern sie beschreiben im Allgemeinen nur  die Gesamtaussage an sich, wie in dem Fall, dass die Gesamtaussage einen Widerspruch besitzt.

3. Frage:
Könnte man es dann formal so aufschreiben?
Seien die atomaren Aussagen $A$ als wahr gegeben, dann gilt für einen Widerspruch folgende einstellige Verknüpfung:
\[P \vee \neg P \Rightarrow \bot\]
Oder würde das auch eine Knüpfung sein ? Ich denke schon, weiß es aber nicht. Wenn ja, dann wäre die Darstellung falsch.
-EDIT-
Mit Sicherheit wäre es eine Knüpfung, weil ich doch oben bereits geschrieben habe, dass die Implikation eine zweistellige Verknüpfung ist.

Dann müsste ich es mit einem Satz aussagen:

Wenn Aussage $A$ und die Negation von $A$ durch den Konjunktor verknüpft wird, dann ergibt dies ein Widerspruch $\bot$. So besser?
 



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