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Autor |
Rang des Gradienten |
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Math_user
Wenig Aktiv  Dabei seit: 04.05.2019 Mitteilungen: 637
Wohnort: Deutschland
 | Themenstart: 2021-01-28
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Hallo zusammen
Ich stecke bei einem einfachem Problem fest. Betrachte folgende Menge
$$A:=\{(x,y,z) \in \Bbb R^3 \;\vert \; x^2+y^2+z^2=1\}$$
Definieren wir nun $f(x,y,z):=x^2+y^2+z^2-1$, so ist der Gradient $\nabla f(x,y,z)=(2x,2y,-2z)$. Nun suche ich den Rang des Gradienten für alle Punkte in $A$. Dieser ist das Bild von $\nabla f(x,y,z)$. Ich dachte, dieses sei $2$, da wir ja $x$ und $y$ freiwählen können und dann nur $z$ fest steht abhängig von $y$ und $x$. Nun ist aber der Rang gleich 1 und ich sehe nicht ein weshalb...
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Diophant
Senior  Dabei seit: 18.01.2019 Mitteilungen: 10673
Wohnort: Rosenfeld, BW
 | Beitrag No.1, eingetragen 2021-01-28
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Hallo,
mir ist in diesem Zusammenhang die Verwendung des Rangs zwar neu: aber der Gradient ist je nach Schreibweise ein Zeilen- oder Spaltenvektor und besitzt als solcher nach Definition den Rang 1 (sofern es sich nicht um den Nullvektor handelt).
Ich verstehe auch den Rest deiner Überlegungen nicht. Um was genau geht es dir denn hier?
Gruß, Diophant
[Verschoben aus Forum 'Analysis' in Forum 'Mehrdim. Differentialrechnung' von Diophant]
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Math_user
Wenig Aktiv  Dabei seit: 04.05.2019 Mitteilungen: 637
Wohnort: Deutschland
 | Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-28
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Hallo Diophant
Vielen Dank für deine Antwort. Folgendes beantwortet meine Frage komplett.
\quoteon(2021-01-28 11:40 - Diophant in Beitrag No. 1)
Der Gradient ist je nach Schreibweise ein Zeilen- oder Spaltenvektor und besitzt als solcher nach Definition den Rang 1 (sofern es sich nicht um den Nullvektor handelt).
\quoteoff
Es ist handelt sich darum die Dimension der Untermannigfaltigkeit zu bestimmen aber diese ist nun klar.
Viele Grüsse
Math_user
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Math_user hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen. Math_user hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt. |
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