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Funktionenfolgen und -reihen » Konvergenz » Ist Funktionenfolge f_n=Sqrt(|x|^2+1/n) Cauchy-Folge?
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Universität/Hochschule J Ist Funktionenfolge f_n=Sqrt(|x|^2+1/n) Cauchy-Folge?
Boy666
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2021-02-01


Hallo zusammen,

ich suche nach einem Beweis dafür, dass die Funktionenfolge
fed-Code einblenden
bezüglich der Norm
fed-Code einblenden
im Vektorraum fed-Code einblenden
eine Cauchy-Folge bildet.

Einfache Abschätzungen führten bei mir bisher nicht zum Erfolg.
Für hilfreiche Tipps oder gar Lösungen bin ich sehr dankbar :)

Viele Grüße



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Kampfpudel
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 02.08.2013
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2021-02-01


Hey Boy666,

bis wohin hast du denn etwa den Ausdruck \(|f_n(x) - f_m(x)|^2\) abschätzen können?



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Phoensie
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2021-02-02

\(\begingroup\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}}             % Natürliche Zahlen \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}             % Ganze Zahlen \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}             % Rationale Zahlen \newcommand{\R}{\mathbb{R}}             % Reelle Zahlen \newcommand{\C}{\mathbb{C}}             % Komplexe Zahlen \newcommand{\ord}{\mathrm{ord}}         % Gruppenordnung \newcommand{\indep}{\perp \!\!\! \perp} % Stochastische Unabhängigkeit (Symbol) \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}   % Realteil \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}   % Imaginärteil \renewcommand{\d}{\operatorname{d}}     % Differential-d \)
Lieber Boy666

Ich gebe mal einen Vorschlag zu einem Lösungsansatz:

Seien $m,n \in \N^*$ mit $0<m<n$. Dann gilt $\frac{1}{n}<\frac{1}{m}$ und es folgt:
\[
    \begin{align*}
        0 \leq
\left| f_n(x) - f_m(x) \right|^2
        &= \left| \sqrt{ |x|^2 + \frac{1}{n} } - \sqrt{ |x|^2 + \frac{1}{m} } \right|^2 \\
        &= \left| \sqrt{ |x|^2 + \frac{1}{m} } - \sqrt{ |x|^2 + \frac{1}{n} } \right|^2 \\
        &< \left| \sqrt{ \left( |x|^2 + \frac{1}{m} \right) - \left( |x|^2 + \frac{1}{n} \right) } \right|^2 \\
        &= \left| \sqrt{ |x|^2 + \frac{1}{m} - |x|^2 - \frac{1}{n} } \right|^2 \\
        &= \left| \sqrt{ \frac{1}{m} - \frac{1}{n} } \right|^2 \\
        &= \frac{1}{m} - \frac{1}{n} \\
        &= \frac{n-m}{mn}
    \end{align*}
\]
Die obige Ungleichheit rechtfertigt sich mit folgendem
Lemma.
Für $0<a<b$ und $k \in \N^*$ gilt $0 < \sqrt[k]{b} - \sqrt[k]{a} < \sqrt[k]{b-a}$.
Beweis Lemma.
Als Übungsaufgabe in Königsberger - "Analysis I", S. 18.

Nun können wir $\frac{n-m}{mn}$ studieren für grosse $n$. Es ist $n=m+k$ für ein $k \in \N$ und folglich
\[
    \begin{align*}
        \frac{n-m}{mn}
        = \frac{(m+k)-m}{m(m+k)}
        = \frac{m+k-m}{m^2+mk}
        = \frac{k}{m^2+mk}
        \to 0 \;\;(m \to \infty)
    \end{align*}
\]
Was zeigt das?
Damit ist gezeigt, dass für jedes $x \in I$ die Folge der Bildwerte $(f_n(x))_{n \in \N^*}$ eine Cauchyfolge in $(\R,|\cdot|)$ ist. Dummerweise ist das nicht das, wonach gefragt worden war (jedoch kannst du die hier entdeckten Abschätzungen durchaus für die Aufgabe nutzen, um den ersten Summanden im Integrand von $\|f_n-f_m\|^2$ abzuschätzen).

Was muss ich nun tun?
Zeige, dass für $m<n$ gilt:
\[
0 \leq \|f_n - f_m\|^2 \leq ... \to 0 \;\;(m \to \infty)
\] Nutze eine analoge Argumentation wie vorhin um mit dem Cauchy-Kriterium zu zeigen, dass $(f_n)_{n \in \N^*}$ im Raum $\big(C^1(I),\|\cdot\|\big)$ eine Cauchy-Folge bildet.

LG Phoensie😄
\(\endgroup\)


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