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 Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung, absolutstetige Maße |
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moert4
Junior 
Dabei seit: 03.02.2021
Mitteilungen: 15
 |  Themenstart: 2021-02-03
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Hallo zusammen,
ich habe demnächst einen Vortrag über den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung und habe ein paar Seiten aus Rudins Buch "Reelle und Komplexe Analysis" dazu bekommen.
Ich habe aber folgende Aussage, die ich nicht verstehe:
Es sei $f: [a,b] \rightarrow \mathbb{R}$ gegeben ($[a,b]$ als kompaktes Intervall im $\mathbb{R}$). Außerdem gilt
$f(x) - f(a) = \int_a^x f'(t)dt$ für beliebige $a\leq x \leq b$.
Definiere das Maß $\mu$ so, dass $d\mu = f'dm$ gilt ($m$ als das Lebesgue-Maß).
Es gilt $\mu \ll m$ ($\mu$ ist absolutstetig bzgl. $m$).
Kann mir jemand vielleicht erklären, warum die letzte Aussage (also $\mu \ll m$) gilt? :)
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Ehemaliges_Mitglied
| Beitrag No.1, eingetragen 2021-02-03
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https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/53089_Screenshot_2021-02-03_Absolut_stetiges_Ma_Wikipedia.png
Du musst dir also überlegen, dass jede Lebesgue Nullmenge auch eine \(\mu\) Nullmenge ist.
Wenn also \(A\) eine Lebesgue Nullmenge ist, so gilt offenbar:
\[\mu(A)=\int_A f' dm = 0\].
Wobei verwendet wurde, dass \(A\) eine Lebesgue Nullmenge ist.
Du musst dir natürlich auch überlegen dass dein so definiertes \(\mu\) überhaupt ein Maß ist.
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moert4
Junior
Dabei seit: 03.02.2021
Mitteilungen: 15
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-02-03
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\quoteon(2021-02-03 13:52 - Nullring in Beitrag No. 1)
https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/53089_Screenshot_2021-02-03_Absolut_stetiges_Ma_Wikipedia.png
Du musst dir also überlegen, dass jede Lebesgue Nullmenge auch eine \(\mu\) Nullmenge ist.
Wenn also \(A\) eine Lebesgue Nullmenge ist, so gilt offenbar:
\[\mu(A)=\int_A f' dm = 0\].
Wobei verwendet wurde, dass \(A\) eine Lebesgue Nullmenge ist.
Du musst dir natürlich auch überlegen dass dein so definiertes \(\mu\) überhaupt ein Maß ist.
\quoteoff
Hallo Nullring,
vielen Dank für deine Antwort! Also das Konzept habe ich verstanden, was zu zeigen ist. Aber für mich ist die Aussage
\[\mu(A)=\int_A f' dm = 0\]
, dass f Mengen vom Maß 0 auf Mengen vom Maß 0 abbildet. Und ich sehe nicht, wie man das weiß.
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zippy
Senior 
Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 4610
 | Beitrag No.3, eingetragen 2021-02-03
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\quoteon(2021-02-03 14:25 - moert4 in Beitrag No. 2)
Aber für mich ist die Aussage
\[\mu(A)=\int_A f' dm = 0\]
, dass f Mengen vom Maß 0 auf Mengen vom Maß 0 abbildet. Und ich sehe nicht, wie man das weiß.
\quoteoff
Ich nehme mal an, dass $f'$ nicht negativ ist (sonst wäre $\mu$ ein signiertes Maß) und außerdem stetig. Dann ist einfach$$
\mu(A)=\int_A f'\,\mathrm dm \le
\left[\max_{x\in A}f'(x)\right] \cdot m(A) \;.$$Diese Ungleichung gilt auch, wenn $f'$ nicht stetig und damit möglicherweise unbeschränkt ist, wobei $\infty\cdot0=0$ zu setzen ist.
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Ehemaliges_Mitglied
| Beitrag No.4, eingetragen 2021-02-03
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\quoteon(2021-02-03 14:25 - moert4 in Beitrag No. 2)
\quoteon(2021-02-03 13:52 - Nullring in Beitrag No. 1)
https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/53089_Screenshot_2021-02-03_Absolut_stetiges_Ma_Wikipedia.png
Du musst dir also überlegen, dass jede Lebesgue Nullmenge auch eine \(\mu\) Nullmenge ist.
Wenn also \(A\) eine Lebesgue Nullmenge ist, so gilt offenbar:
\[\mu(A)=\int_A f' dm = 0\].
Wobei verwendet wurde, dass \(A\) eine Lebesgue Nullmenge ist.
Du musst dir natürlich auch überlegen dass dein so definiertes \(\mu\) überhaupt ein Maß ist.
\quoteoff
Hallo Nullring,
vielen Dank für deine Antwort! Also das Konzept habe ich verstanden, was zu zeigen ist. Aber für mich ist die Aussage
\[\mu(A)=\int_A f' dm = 0\]
, dass f Mengen vom Maß 0 auf Mengen vom Maß 0 abbildet. Und ich sehe nicht, wie man das weiß.
\quoteoff
Wie habt ihr das Lebesgue Integral denn definiert?
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moert4
Junior 
Dabei seit: 03.02.2021
Mitteilungen: 15
| Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2021-02-03
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\quoteon(2021-02-03 14:34 - zippy in Beitrag No. 3)
\quoteon(2021-02-03 14:25 - moert4 in Beitrag No. 2)
Aber für mich ist die Aussage
\[\mu(A)=\int_A f' dm = 0\]
, dass f Mengen vom Maß 0 auf Mengen vom Maß 0 abbildet. Und ich sehe nicht, wie man das weiß.
\quoteoff
Ich nehme mal an, dass $f'$ nicht negativ ist (sonst wäre $\mu$ ein signiertes Maß) und außerdem stetig. Dann ist einfach$$
\mu(A)=\int_A f'\,\mathrm dm \le
\left[\max_{x\in A}f'(x)\right] \cdot m(A) \;.$$Diese Ungleichung gilt auch, wenn $f'$ nicht stetig und damit möglicherweise unbeschränkt ist, wobei $\infty\cdot0=0$ zu setzen ist.
\quoteoff
Danke für deine Antwort! :)
Du hast recht, dass $f'$ nichtnegativ ist (wir wissen, dass $f$ monoton wachsend ist). Aber woher hat man denn diese Ungleichung? 🙁
Tut mir leid, falls ich mich gerade doof anstelle, aber ich versuche irgendwie schon seit Tagen, diese Aussage zu sehen und kriege es einfach nicht hin.
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moert4
Junior
Dabei seit: 03.02.2021
Mitteilungen: 15
| Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2021-02-03
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\quoteon(2021-02-03 14:50 - Nullring in Beitrag No. 4)
\quoteon(2021-02-03 14:25 - moert4 in Beitrag No. 2)
\quoteon(2021-02-03 13:52 - Nullring in Beitrag No. 1)
https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/53089_Screenshot_2021-02-03_Absolut_stetiges_Ma_Wikipedia.png
Du musst dir also überlegen, dass jede Lebesgue Nullmenge auch eine \(\mu\) Nullmenge ist.
Wenn also \(A\) eine Lebesgue Nullmenge ist, so gilt offenbar:
\[\mu(A)=\int_A f' dm = 0\].
Wobei verwendet wurde, dass \(A\) eine Lebesgue Nullmenge ist.
Du musst dir natürlich auch überlegen dass dein so definiertes \(\mu\) überhaupt ein Maß ist.
\quoteoff
Hallo Nullring,
vielen Dank für deine Antwort! Also das Konzept habe ich verstanden, was zu zeigen ist. Aber für mich ist die Aussage
\[\mu(A)=\int_A f' dm = 0\]
, dass f Mengen vom Maß 0 auf Mengen vom Maß 0 abbildet. Und ich sehe nicht, wie man das weiß.
\quoteoff
Wie habt ihr das Lebesgue Integral denn definiert?
\quoteoff
Als das Maß, das Rechtecken ihr Volumen zuweist, also:
\[m([a,b]) = b-a\]
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zippy
Senior
Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 4610
| Beitrag No.7, eingetragen 2021-02-03
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\quoteon(2021-02-03 17:23 - moert4 in Beitrag No. 5)
Aber woher hat man denn diese Ungleichung?
\quoteoff
Das ist die Monotonie des Lebesgue-Integrals:$$
u\le v \quad\implies\quad
\int_Xu(x)\,\mathrm d\lambda(x)\le\int_Xv(x)\;\mathrm d\lambda(x)$$In deinem Fall wird speziell$$
f'\le\max_{x\in A}f'(x) \quad\implies\quad
\int_Af'(x)\,\mathrm dm(x)\le\int_A\left[\max_{x\in A}f'(x)\right]
\mathrm dm(x) = \left[\max_{x\in A}f'(x)\right]\cdot m(A)
$$benutzt.
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moert4
Junior
Dabei seit: 03.02.2021
Mitteilungen: 15
|  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2021-02-03
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\quoteon(2021-02-03 17:51 - zippy in Beitrag No. 7)
\quoteon(2021-02-03 17:23 - moert4 in Beitrag No. 5)
Aber woher hat man denn diese Ungleichung?
\quoteoff
Das ist die Monotonie des Lebesgue-Integrals:$$
u\le v \quad\implies\quad
\int_Xu(x)\,\mathrm d\lambda(x)\le\int_Xv(x)\;\mathrm d\lambda(x)$$In deinem Fall wird speziell$$
f'\le\max_{x\in A}f'(x) \quad\implies\quad
\int_Af'(x)\,\mathrm dm(x)\le\int_A\left[\max_{x\in A}f'(x)\right]
\mathrm dm(x) = \left[\max_{x\in A}f'(x)\right]\cdot m(A)
$$benutzt.
\quoteoff
Vielen Dank! Ich glaube, ich habe es jetzt verstanden
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