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| Autor |
 Satz über implizite Funktionen |
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maxd
Neu 
Dabei seit: 24.11.2020
Mitteilungen: 4
 |  Themenstart: 2021-02-08
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Ich verstehe leider nicht, wie ich mit dem Satz über implizite Funktionen darauf komme.
Der Gradient von G ist bei (x0, y0) = 0. Soweit so gut. Der triviale Fall für Lambda = 0 ist auch in Ordnung. Aber ansonsten komm ich nicht weiter. Ich weiß, dass ich F(x0, y0) auch mit F(x, f(x)) darstellen kann, aber was bringt mir das?
Die Aufgabe:
Es seien F, G: R2 → R stetig differenzierbar, ferner sei stets D2F(x, y) /= 0. Es sei
M := {(x, y): F(x, y) = 0}. Die Funktion G besitze relativ zu M bei (x0, y0) ∈ M
ein lokales Maximum (d.h. es existiert eine Umgebung U von (x0, y0), so dass für
alle (x, y) ∈ U ∩ M gilt G(x, y) ≤ G(x0, y0). Zeigen Sie mit Hilfe des Satzes über
implizite Funktionen, dass ein λ ∈ R existiert mit
(grad G)(x0, y0) = λ(grad F)(x0, y0).
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 Profil
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Phoensie
Aktiv 
Dabei seit: 11.04.2020
Mitteilungen: 442
Wohnort: Muri AG, Schweiz
 | Beitrag No.1, eingetragen 2021-02-08
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}} % Natürliche Zahlen
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} % Ganze Zahlen
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} % Rationale Zahlen
\newcommand{\R}{\mathbb{R}} % Reelle Zahlen
\newcommand{\C}{\mathbb{C}} % Komplexe Zahlen
\newcommand{\ord}{\mathrm{ord}} % Gruppenordnung
\newcommand{\indep}{\perp \!\!\! \perp} % Stochastische Unabhängigkeit (Symbol)
\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} % Realteil
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} % Imaginärteil
\renewcommand{\d}{\operatorname{d}} % Differential-d
\)
Lieber maxd
Ich heisse dich herzlich auf dem Matheplaneten willkommen!😄
Kleine Randnotiz vorneweg
Falls du mit dem Schreiben von $\LaTeX$ vertraut bist, dann habe ich tolle Neuigkeiten: Der Matheplanet unterstützt TeX-Sprachen, mit denen du deine Formeln leicht lesbar darstellen kannst. Ist nicht so schlimm falls du das nicht beherrschen solltest, aber mit ein wenig Übung findest du sicher Spass daran.😉
Ich rezitiere daher, wenn du erlaubst, nochmal kurz deine Aufgabe im Formelschreib:
Aufgabe.
Es seien $F, G: \R^2 \to \R$ stetig differenzierbar. Ferner sei für alle $x,y \in \R$, dass $\mathrm{D}^2 F(x,y) \neq 0$. Es sei $M := \{(x, y) \in \R^2 \mid F(x, y) = 0\}$. Die Funktion $G$ besitze relativ zu $M$ bei $(x_0, y_0) \in M$ ein lokales Maximum (d.h. es existiere eine Umgebung $U$ von $(x_0, y_0)$, sodass für alle $(x, y) \in U \cap M$ die Ungleichung $G(x,y) \leq G(x_0,y_0)$ gilt). Zeigen Sie mit Hilfe des Satzes über implizite Funktionen, dass ein $
\lambda \in \R$ existiert mit
\[(\operatorname{grad} G)(x_0, y_0) = \lambda(\operatorname{grad} F)(x_0, y_0).\]
Lösungsansatz.
Zu zeigen ist, dass für ein $\lambda \in \R$ gilt:
\[
\frac{\partial G}{\partial x}(x_0,y_0) = \lambda \frac{\partial F}{\partial x}(x_0,y_0)
\qquad,\qquad
\frac{\partial G}{\partial y}(x_0,y_0) = \lambda \frac{\partial F}{\partial y}(x_0,y_0)
\]
Wir können also unser "vektorielles Problem" in ein System von skalaren Gleichungen umwandeln.
Wir wissen wegen $(x_0,y_0) \in M$ aus der Definition von $M$, dass $F(x_0,y_0)=0$ ist und nach der lokalen Maximumseigenschaft von $(x_0,y_0)$ bezüglich $G$ auf $M$ haben wir auch
\[
\operatorname{grad}G(x_0,y_0) = (0,0).
\]
(Beachte, dass der Gradient ein Vektor mit den partiellen Ableitungen von $G$ als Einträgen ist).
Du kannst nun den Satz über implizite Funktionen auf die Komponenten von $\operatorname{grad}G$ anwenden (also die zwei (linearen) Funktionen $\frac{\partial G}{\partial x}: \R^2 \to \R$ und $\frac{\partial G}{\partial y}: \R^2 \to \R$).
LG Phoensie\(\endgroup\)
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sonnenschein96
Senior 
Dabei seit: 26.04.2020
Mitteilungen: 705
| Beitrag No.2, eingetragen 2021-02-09
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Hallo maxd,
\quoteon(2021-02-08 20:52 - maxd im Themenstart)
Der Gradient von G ist bei (x0, y0) = 0.
\quoteoff
\quoteon(2021-02-08 22:04 - Phoensie in Beitrag No. 1)
... nach der lokalen Maximumseigenschaft von $(x_0,y_0)$ bezüglich $G$ auf $M$ haben wir auch
\[
\operatorname{grad}G(x_0,y_0) = (0,0).
\]
\quoteoff
Das stimmt so im Allgemeinen leider nicht (sonst könnten wir ja auch einfach \(\lambda=0\) wählen und wären fertig...). Dieser Schluss ist nur Zulässig, falls \((x_0,y_0)\) ein innerer Punkt von \(M\) ist, das aber bedeutet, dass \(F\) in einer Umgebung von \((x_0,y_0)\) konstant \(0\) ist. In diesem Fall ist dann \(\nabla F(x_0,y_0)=0\) und die Gleichung ist für jedes \(\lambda\in\mathbb{R}\) erfüllt.
Der Sinn dieser Aufgabe ist aber gerade, Mengen \(M\) zu betrachten, für die \((x_0,y_0)\) kein innerer Punkt ist, d.h. man führt eine Optimierung unter Nebenbedingungen durch, siehe
https://de.wikipedia.org/wiki/Lagrange-Multiplikator
Für eine beliebige (!) stetig differenzierbare Abbildung \(F\colon\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}\) und \(G:=F\) ist z.B. jedes \((x_0,y_0)\in M\) ein lokales Maximum relativ zu \(M\) (da \(G\) auf \(M\) konstant \(0\) ist). \(\nabla G(x_0,y_0)=\nabla F(x_0,y_0)\) (hier wäre \(\lambda=1\)) kann aber beliebig sein, da ja auch \(F\) beliebig war und muss insbesondere nicht \(0\) sein.
Edit:
\quoteon(2021-02-08 22:04 - Phoensie in Beitrag No. 1)
Ferner sei für alle $x,y \in \R$, dass $\mathrm{D}^2 F(x,y) \neq 0$.
\quoteoff
Ich denke mal, dass eher \(\partial_2 F(x,y)=\partial_y F(x,y)\neq0\) gemeint war oder? (Allgemeiner könnte man \(\nabla F(x,y)\neq0\) fordern) Mal abgesehen davon, dass \(F\) gar nicht als zweimal differenzierbar vorausgesetzt wurde, wäre die Bedingung \(\mathrm{D}^2 F(x,y) \neq 0\) auch nicht hinreichend.
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sonnenschein96
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Mitteilungen: 705
| Beitrag No.3, eingetragen 2021-02-09
|
Aus dem Satz über implizite Funktionen erhältst Du die Existenz offener Intervalle \(I\) mit \(x_0\in I\) und \(J\) mit \(y_0\in J\) und einer stetig differenzierbaren Funktion \(f\colon I\to J\) mit \(f(x_0)=y_0\), sodass für alle \(x\in I, y\in J\) gilt, dass \(F(x,y)=0\) genau dann, wenn \(y=f(x)\).
Betrachte nun die Ableitung der Funktion \(I\to\mathbb{R}, x\mapsto F(x,f(x))\) in \(x_0\). Weiter hat die Funktion \(I\to\mathbb{R}, x\mapsto G(x,f(x))\) in \(x_0\) ein lokales Maximum. Leite auch dies mal ab.
Du solltest dann erkennen, dass sowohl \(\nabla F(x_0,y_0)\) als auch \(\nabla G(x_0,y_0)\) senkrecht auf dem Vektor \((1, f'(x_0))\) stehen. (\((1, f'(x_0))\) ist tangential an \(M\), \(\nabla F(x_0,y_0)\) und \(\nabla G(x_0,y_0)\) normal.) Daher liegen sie im selben eindimensionalen Unterraum des \(\mathbb{R}^2\) und Du kannst leicht auf die Behauptung schließen.
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