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Kein bestimmter Bereich J ** Grenzwertig IV
Squire
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2021-02-12


Für das Wochenende:

Bestimme $\displaystyle\lim_{n \to \infty}\frac{1}{\ln{n}}\int_0^{\pi/2}\frac{\sin^2{nx}}{\sin x}dx$.

Lösungen bitte mit PN; viel Vergnügen!

Grüße Squire






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Dies ist eine Knobelaufgabe!
Der Themensteller hat bestimmt, dass Du Deine Lösung nicht direkt im Forum posten darfst.
Sende stattdessen Deine Lösung als private Nachricht an den Themensteller. Benutze dazu den Link 'Privat', den Du unter seinem Beitrag findest.
Der Themensteller wird zu gegebener Zeit über eingesandte (richtige) Lösungen informieren
und nach Ablauf einer (von ihm) festgelegten Zeit alle Lösungen veröffentlichen.
Squire
Senior Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 18.08.2015
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, vom Themenstarter, eingetragen 2021-02-15


Ein kleiner Schubs für das Problem - bislang ist noch keine Lösung eingelangt.

Grüße Squire



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gonz
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2021-02-16


Hallo Squire, ich bin noch am Knobeln :)


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Praefectus Gn. Marcellus Transfonkator - LEG XXI RAP LEGATUS.
Lademeister am EUSEBIUS-503 Projekt.



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MartinN
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2021-02-16


Ich überleg auch noch xD



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cramilu
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2021-02-16


🤔 Und ich erst... 🙄


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ADMIRATIONIS  SUI  SATISFACTIONIS  SACRA  SITIS




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Wally
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2021-02-16


Ich denke zwischendurch auch dran, aber weil bald eine Klausur ist, muss ich mir selbst Knobelaufgaben ausdenken :)

Viele Grüße

Wally



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Wauzi
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2021-02-17


Hallo,
Ich glaube, eine Lösung zu haben, bin aber skeptisch, es waren so viele kleine Abschätzungen, da sind Fehler vorprogrammiert.
Ich frage mich, ob es auch eine direkte Lösung (also mit allgemeiner Berechnung des Integrals) gibt.
Gruß Wauzi


-----------------
Primzahlen sind auch nur Zahlen



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MontyPythagoras
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2021-02-17


Ja, gibt es.

Ciao,

Thomas



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Wauzi
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2021-02-19


Klar, kann man eigentlich nicht übersehen.
Und dann löst sich das alles wie von selbst,
Eigentlich schade, wo es doch auch so richtig kompliziert geht....



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MontyPythagoras
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2021-02-19


So ist es doch mit allem: wenn man erst einmal weiß, wie es geht, ist es einfach.
Squire scheint seine eigene Aufgabe vergessen zu haben. Ich habe ihm vor zwei Tagen meine Lösung geschickt, aber er schaut in diesen Thread ja anscheinend gar nicht mehr hinein. 🤔
Bin gespannt auf Deine komplizierte Lösung. 😃

Ciao,

Thomas



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Squire
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2021-02-19


Hier bin ich doch schon :-)

Danke und Gratulation bislang an

hyperG
sonnenschein96
MontyPythagoras
Kuestenkind
Wauzi
Wally
MartinN

Ich lasse das Problem noch über das Wochenende stehen und löse dann auf. Also bitte noch etwas Geduld. :-)

Grüße Squire



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Wally
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, eingetragen 2021-02-19


Das ist eine schöne Aufgabe, weil man numerisch nur Murks herausbekommt.

Viele Grüße

Wally



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Squire
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2021-02-22


Nochmals danke allen, die mitgemacht haben! Hier meine Lösung:



$\displaystyle\int_0^{\pi/2}\frac{\sin^2{nx}}{\sin x}dx=\sum_{k=1}^n \frac{1}{2k-1}$ (Beweis zB durch VI).

$\displaystyle\lim_{n \to \infty}\frac{1}{\ln{n}}\int_0^{\pi/2}\frac{\sin^2{nx}}{\sin x}dx=\lim_{n \to \infty}\frac{\sum_{k=1}^n \frac{1}{2k-1}}{\ln{n}}=(SC)=\lim_{n \to \infty}\frac{\frac{1}{2n+1}}{\ln(n+1)-\ln{n}}=\frac{1}{2}$.



Weitere Lösungsvorschläge ab sofort hier willkommen!

Grüße Squire



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Wauzi
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.13, eingetragen 2021-02-23


Es geht auch komplizierter:

fed-Code einblenden

Gruß Wauzi



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sonnenschein96
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.14, eingetragen 2021-02-23


2021-02-23 19:18 - Wauzi in Beitrag No. 13 schreibt:
Es geht auch komplizierter:

;D

Ich habe es auch nur durch Abschätzungen lösen können, allerdings habe ich es nicht ganz geschafft, es so kompliziert wie Wauzi zu machen. Hier mal eine Skizze:


Es gilt
$$ \begin{align*}
\lim_{n\to\infty}\frac{1}{\log(n)}\int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{\sin^2(nx)}{\sin(x)}\,dx=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{\log(n)}\int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{\sin^2(nx)}{x}\,dx=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{\log(n)}\int_0^{\frac{n\pi}{2}}\frac{\sin^2(y)}{y}\,dy.
\end{align*}
$$ Die erste Gleichung kann man sich überlegen, indem man zeigt dass die Differenz gegen \(0\) geht, da sich der Integrand unabhängig von \(n\) nach oben abschätzen lässt. Nun kann man\[\frac{1}{2}H_{\lfloor \frac{n}{2} \rfloor}\leq\int_0^{\frac{n\pi}{2}}\frac{\sin^2(y)}{y}\,dy\leq2+\frac{1}{2}H_{\lfloor \frac{n}{2} \rfloor}\] zeigen, indem man das Intervall \([0,\frac{n\pi}{2}]\) in Teilintervalle der Länge \(\pi\) aufteilt. Das Ergebnis folgt dann wegen
\[\lim_{n\to\infty}\frac{1}{\log(n)}\left(\frac{1}{2}H_{\lfloor \frac{n}{2} \rfloor}\right)=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{\log(n)}\left(2+\frac{1}{2}H_{\lfloor \frac{n}{2} \rfloor}\right)=\frac{1}{2}.\]




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MontyPythagoras
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Hier meine Lösung, den man als ausführliche Version des sehr kurz gehaltenen Beweises von Squire betrachten kann:


Es ist
$$I_n=\intop_0^{\frac\pi2}\frac{\sin^2(nx)}{\sin x}\mathrm dx=\frac12\intop_0^{\frac\pi2}\frac{1-\cos(2nx)}{\sin x}\mathrm dx$$Wir definieren:
$$f_n(x)=\frac{1-\cos(2nx)}{\sin x}$$wobei
$$f_0(x)=0$$ist. Daraus folgt:
$$f_{n+1}(x)-f_n(x)=\frac{\cos(2nx)-\cos(2(n+1)x)}{\sin x}$$Es gilt außerdem allgemein:
$$\cos x-\cos y=-2\sin\frac{x+y}2\sin\frac{x-y}2$$woraus hier folgt:
$$f_{n+1}(x)-f_n(x)=\frac{-2\sin\frac{2(n+1)x+2nx}2\sin\frac{-2x}2}{\sin x}=2\sin((2n+1)x)$$Wir erhalten durch Aufsummieren:
$$f_n(x)=2\sum_{k=0}^{n-1}\sin((2k+1)x)$$Für das Integral erhalten wir:
$$I_n=\intop_0^{\frac\pi2}\sum_{k=0}^{n-1}\sin((2k+1)x)\mathrm dx$$$$I_n=-\sum_{k=0}^{n-1}\Big[\frac1{2k+1}\cos((2k+1)x)\Big]_0^{\frac\pi2}$$$$I_n=\sum_{k=0}^{n-1}\frac1{2k+1}$$$$I_n=\sum_{k=1}^{2n}\frac1k-\frac12\sum_{k=1}^n\frac1{k}$$$$I_n=H_{2n}-\frac12H_n$$Dabei ist $H_n$ die harmonische Reihe. Für den Grenzwert $n\to\infty$ gilt bekanntermaßen
$$H_n=\ln n+\gamma+\mathcal O\left(\frac1n\right)$$Letztlich erhalten wir für den gesuchten Grenzwert:
$$\lim_{n\to\infty}\frac{I_n}{\ln(n)}=\lim_{n\to\infty}\frac{\ln(2n)-\frac12\ln(n)+\frac12\gamma}{\ln(n)}=\lim_{n\to\infty}\frac{\frac12\ln(n)+\ln2+\frac12\gamma}{\ln(n)}=\frac12$$

Ciao,

Thomas



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Wally
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.16, eingetragen 2021-02-25

\(\begingroup\)\(\newcommand{\D}{\displaystyle}\)
Ganz kurze Skizze des nächsten Wegs:


In \( \D \frac{\sin nx}{\sin x}\sin nx\) hat man \( \D\sin x= \frac{1}{2i}(e^{ix}-e^{-ix})\) und \(\D \sin nx= \frac{1}{2i}(e^{inx}-e^{-inx})\).

Die Substitution \( z=e^{ix}\) verwandelt nach Kürzen das Integral in \( \D -\frac{1}{2}\int_1^i \sum_{k=0}^{n-1} z^{2k}(1-z^{-2n})\, dz\)

Wenn man das ausmultipliziert und gliedweise integriert, heben sich die Werte der Stammfunktionen bei \( z=i\) raus und übrig bleibt \(\displaystyle \sum_{k=1}^n \frac{1}{2k-1}\).

Weiter geht's wie bei Squire.



Viele Grüße

Wally
\(\endgroup\)


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Squire hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Squire hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.
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