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Universität/Hochschule Kanonische Transformation einer Hamiltonfunktion
Mandacus
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  Themenstart: 2021-02-13

Guten Morgen, ich habe ein Problem bei iner Aufgabe bei, der es um eine kanonische Transformation einer Hamilton-Funktion geht. https://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/46688_Oszillatorkette1.jpg https://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/46688_Oszillatorkette2.jpg Da es $n$ Zwangsbedingungen gibt, habe ich $n$ generalisierte Koordinaten $q_i=x_i, i=1,...,n$. Die Lagrange-Funktion ist gegeben durch $$ L=\sum_{i=1}^{N} \frac{m}{2} \dot{q}_i-\sum_{i=1}^{N} \frac{k}{2} (q_{i+1}-q_i)^2. $$ wobei $q_{n+1}=q_1$. Die generalisierten Impulse lauten $$ p_l=\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_l}=m \dot{x_l} $$ Es folgt für die Hamilton-Funktion $$ H=\sum_{i=1}^{N} p_i \dot{x}_i - L \\ =\sum_{i=1}^{N} \frac{p^2_i}{m} -\sum_{i=1}^{N} \frac{p^2_i}{2m} - \sum_{i=1}^{N} \frac{k}{2} (q_{i+1}-q_i)^2. $$ Um bei c) die transformierte Hamilton-Funktion berechnen zu können, muss ich die Koordinaten und Impulse $q_i$ und $p_i$ bzgl. $Q_i$ und $P_i$ ausdrücken. Dazu muss ich die Transformationen in b) invertieren. Ich erhalte $$ q_l=\frac{1}{\sqrt{N}} \sum_{j=1}^{N} e^{-i \frac{2 \pi}{N} j l} Q_j $$ $$ p_l=\frac{1}{\sqrt{N}} \sum_{j=1}^{N} e^{i \frac{2 \pi}{N} j l} P_j $$ Wenn ich das jetzt in die Hamilton-Funktion einsetze bekomme ich, da die gen. Impulse und Koordinaten quadriert werden, in der transformierten Hamilton-Funktion Ausdrücke der Form $$ \left( \frac{1}{\sqrt{N}} \sum_{j=1}^{N} e^{i \frac{2 \pi}{N} j l} P_j \right)^2 $$ auf.Ich sehe leider nicht, wie ich diese weiter vereinfachen kann. Die Identität $$ \frac{1}{N} \sum_{j=1}^{N} e^{i \frac{2 \pi}{N} j(m-n)}=\delta_{n,m} $$ scheint nicht anwendbar zu sein, da in den problematischen Ausdrücken keine komplexen Exponentialfunktionen mit negativem Exponenten auftauchen. Gibt es noch einen Trick mit eine Vereinfachung doch noch gelingt?


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zippy
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-02-13

\quoteon(2021-02-13 09:46 - Mandacus im Themenstart) Die Identität [...] scheint nicht anwendbar zu sein, da in den problematischen Ausdrücken keine komplexen Exponentialfunktionen mit negativem Exponenten auftauchen. \quoteoff Du kannst diese Identität auch hier einsetzen. Beachten solltest du dabei: 1. Auf die Indizes im Exponenten kommt es nur mod $N$ an. 2. Die $P_m$ und $Q_m$ sind komplexe Variablen und es gilt $P_{N-m}=\overline P_m$, $Q_{N-m}=\overline Q_m$. --zippy


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Mandacus
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-02-13

Ich müsste dann aber um sowohl die Identität als auch den Hinweis 2 erfolgreich anwenden zu können ja auf Ausdrücke der Form $$ \frac{1}{N} \sum_{j=1}^{N} \sum_{w=1}^{N} e^{i \frac{2 \pi}{N} (j+N-w) l} P_j P_{N-m} $$ kommen. Dann stimmt allerdings die Indexierung nicht mehr.


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zippy
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  Beitrag No.3, eingetragen 2021-02-13

Starte mit diesem Ausdruck: \quoteon(2021-02-13 09:46 - Mandacus im Themenstart) $$ \left( \frac{1}{\sqrt{N}} \sum_{j=1}^{N} e^{i \frac{2 \pi}{N} j l} P_j \right)^2 $$\quoteoff Ausmultiplizieren und Ergänzen der äußeren Summe über $l$ ergibt$$ \frac1N\sum_{j,k,l}e^{i\frac{2\pi}N\,(j+k)\,l}\,P_j\,P_k $$Zu der Summe über $l$ sagt deine Identität, dass nur die Terme mit $ j+k\equiv0\pmod N$ übrigbleiben. Und in diesen Termen ist $k=N-j$:$$ \sum_jP_j\,P_{N-j} = \sum_j\left|P_j\right|^2$$


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Mandacus
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-02-13

Ich habe leider auch noch ein Problem mit den Audrücken für $Q_j$. Man hat ja $$ q_{l+1}-q_l =\frac{1}{N} \left(\sum_{j=1}^{N} (e^{-i \frac{2 \pi}{N} j}-1) e^{-i \frac{2 \pi}{N} j l} Q_j \right)^2 \\ =\frac{1}{N} \left(\sum_{j,w} (e^{-i \frac{2 \pi}{N} j}-1) (e^{-i \frac{2 \pi}{N} w}-1) e^{-i \frac{2 \pi }{N} (j+w) l Q_j Q_w} \right) \\ =\frac{1}{N} \left( \sum_{j,w} e^{-i \frac{2 \pi}{N} (j+w)(l+1)} Q_j Q_w -2 \sum_{j,w} e^{-i \frac{2 \pi}{N} ((j+w)l+w)} Q_j Q_w + \sum_{j,w} e^{-i \frac{2 \pi}{N} (j+w)l} Q_j Q_w \right) $$ Das Problem ist nun allerdings, dass hier beim Ausmultiplizieren auch Terme der Form $e^{-i \frac{2 \pi}{N}((j+w)l+w)}$ auftauchen. Wenn ich jetzt wie oben die Summe über $l$ ergänze und die Identität anwende müsste ich ja (da die Exponenten negative Vorzeichen haben) die Bedingung $-(j+w)=0 \text{mod} N$ also auch $N-j=w$ erhalten. Dann k"onnte ich mit zwei der drei Summen so verfahren wie in der vorherigen. Aber bei der Summe in der Mitte hätte man ja für die Summanden $$ e^{-i \frac{2 \pi}{N} ((j+w)l+w)} Q_j Q_w=e^{i \frac{2 \pi}{N} j} Q_j Q_{N-j} $$ Aber in dem Fall würden die komplexen Exponentialfunktionen ja nicht verschwinden.


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Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
zippy
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  Beitrag No.5, eingetragen 2021-02-14

\quoteon(2021-02-13 22:48 - Mandacus in Beitrag No. 4) Aber in dem Fall würden die komplexen Exponentialfunktionen ja nicht verschwinden. \quoteoff Summen von komplexen Exponentialfunktionen können zu netten reellen Ergebnissen führen. Du musst die Rechnung nur zu Ende führen, ohne auf halber Strecke aufzugeben. Wenn du diesen Term über $l$ summierst... \quoteon(2021-02-13 22:48 - Mandacus in Beitrag No. 4) $$\frac{1}{N} \left(\sum_{j,w} (e^{-i \frac{2 \pi}{N} j}-1) (e^{-i \frac{2 \pi}{N} w}-1) \,e^{-i \frac{2 \pi }{N} (j+w) l}\,Q_j Q_w\right) $$\quoteoff ... bleiben nur die Summanden mit $w\equiv-j\pmod N$ übrig, und der Vorfaktor von $|Q_j|^2$ ist$$ \left(e^{-i \frac{2 \pi}{N} j}-1\right) \left(e^{i \frac{2 \pi}{N} j}-1\right) = \left|e^{i \frac{2 \pi}{N} j}-1\right|^2 = \left|e^{i \frac\pi N j}-e^{-i \frac\pi N j}\right|^2 = 4\sin^2\left(\frac\pi N\,j\right)\;.$$


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