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  Bestimmung des Minimalpolynoms |
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Timethie
Junior 
Dabei seit: 26.01.2021
Mitteilungen: 8
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Hallöle an alle,
ich lerne derzeit mittels alter Aufgaben für meine anstehende Algebra Klausur. Dabei kam es jetzt des Öfteren vor, dass ich das Minimalpolynom einer Summe (also z.B. von $\alpha = \sqrt{2}+\sqrt{3}$) über irgendeinem Körper $K$ bestimmen sollte. Gibt es dafür irgendeine allgemeine Methode oder häufig benutzbare Tricks?
Zum Beispiel wurde auf einem alten Aufgabenzettel die Minimalpolynome von $\alpha_0 = \sqrt{2}+\sqrt{3}, \alpha_1 = \text{e}^{\pi \text{i}/6} - \sqrt{3}$ über $K = \mathbb{Q}$ und $\alpha_2 = \sqrt{2}+\text{i}$ über $K = \mathbb{Q}(\sqrt{2})$ verlangt.
Gerne nehme ich auch Tipps und Tricks für andere $\alpha$'s entgegen, z.B. $\alpha = \text{sin}(2\pi/5)$ :).
Schonmal Danke für die Hilfe.
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Triceratops
Aktiv 
Dabei seit: 28.04.2016
Mitteilungen: 5544
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 |      Beitrag No.1, eingetragen 2021-02-17
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Tipp: Das Minimalpolynom von $\alpha$ ist $\prod_{c} (T - c)$, wobei $c$ die Konjugierten von $\alpha$ sind, die gegeben sind durch die $\sigma(\alpha)$, wobei $\sigma$ die Elemente der Galoisgruppe (irgendeiner Galoiserweiterung von $\alpha$) durchläuft. Wenn du die Galoisgruppe kennst, bist du also quasi fertig.
Speziell für Wurzelausdrücke gibt es noch die Kummer-Theorie, da erscheint demnächst ein Artikel von mir dazu. Aber unter dem Stichwort findest du schon einiges im Internet.
Um allgemein ein nicht-triviales Polynom $K[T]$ zu finden, welches eine Summe von Wurzeln $s_n := \sqrt{\delta_1} + \cdots + \sqrt{\delta_n}$ als Nullstelle hat (mit $\delta_i \in K$), definiert man Polynome $p_n \in K[T]$ rekursiv durch
$p_{n+1}(T) := p_n(T+\sqrt{\delta_{n+1}}) \cdot p_n(T-\sqrt{\delta_{n+1}})$
Beachte, dass tatsächlich induktiv $p_n \in K[T]$ folgt: Im Induktionsschritt ist entweder $\sqrt{\delta_{n+1}} \in K$ und dies klar, oder $\sqrt{\delta_{n+1}} \notin K$ und dann der Ausdruck unter dem Automorphismus $\sqrt{\delta_{n+1}} \mapsto - \sqrt{\delta_{n+1}}$ von $K(\sqrt{\delta_{n+1}})[T]$ invariant, also in $K[T]$. (Man kann es aber auch ganz simpel durch Ausmultiplizieren sehen.)
Aus $p_n(s_n)=0$ folgt nun offenbar $p_{n+1}(s_{n+1})=0$.
Zum Beispiel: Für $\sqrt{2}$ hat man das Polynom $T^2-2$. Für $\sqrt{2}+\sqrt{3}$ hat man dann das Polynom
$((T+\sqrt{3})^2-2) \cdot ((T-\sqrt{3})^2-2) = T^4 - 10T^2 + 1.$
Dass es irreduzibel über $\IQ$ ist, muss man sich nun aber anderweitig überlegen (wie gesagt, die Kummer-Theorie nimmt das einem in vielen Situationen ab).
Für $i+\sqrt{2}$ bekommt man das Polynom
$((T+\sqrt{2})^2+1) \cdot ((T-\sqrt{2})^2+1) = T^4 - 2 T^2 + 9.$
Über $\IQ$ ist das auch irreduzibel. Über $\IQ(\sqrt{2})$ ist die Sache hier natürlich viel einfacher: Offenbar ist $i+\sqrt{2}$ eine Nullstelle von $(T-\sqrt{2})^2+1 \in \IQ(\sqrt{2})[T]$.
Für $\alpha = \sin(2\pi/5)$ gilt $\alpha=\sqrt{(5+\sqrt{5})/8}$, also $\alpha^2=(5+\sqrt{5})/8$, nun bringe die verbleibende Wurzel auf eine Seite und quadriere. So erhältst du ein Polynom vom Grad $4$ mit Nullstelle $\alpha$, das auch tatsächlich irreduzibel ist.
Sorry für die zahlreichen Edits.
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Triceratops
Aktiv 
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Mitteilungen: 5544
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| Beitrag No.2, eingetragen 2021-02-20
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Timethie
Junior 
Dabei seit: 26.01.2021
Mitteilungen: 8
|  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2021-02-25
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Vielen Dank Triceratops, das hilft mir sehr weiter. Leider hatten wir die Kummer-Theorie nicht behandelt :(
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