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Universität/Hochschule Fourier komplex: Aufsummierung -∞ bis +∞
marathon
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hallo hier nach einigen Wochen wieder eine Meldung von "Mathe-Sorgenkind" Markus Gut jeder steht eben da wo er eben einmal steht habe hier wieder eine Aufgabe die mit dem Fourier Thenenkomplex zusammenhängt Zuerst als das ganze als Bilddokument https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/43568_fourier_komplex.JPG https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/43568_fourier_komplex2.JPG \ nun bedingt durch meine Mathematik legastenie wenn mann es einfach ( Nicht mehr) weit hier wird die Summe ja von -\inf bis \inf aufsummiert und als Ergebnis ergibt sich dann wie abgedruckt ... y(t)= sum(k,k=-\inf ,\inf )*C_k*e^(jk2\pi*f_p*t) gut soweit und dies soll nun in der Aufsummierung.. 1+2/\pi*e^(j*(-\pi/2))*e^(j*\pi*t) + 2/\3pi*e^(j*(-3\pi/2))*e^(j*3\pi*t) ect ergeben dummerweise wirklich peinlich sehe ich die erzeugte 1 respektive die 2/\pi*e^(j*(-\pi/2))*e^(j*\pi*t nicht die minus unendlich bis unendlich wird die nicht irgendwie bei der Summierung aufgeteilt so dass man bei Null beginnt und dann weiter operiert.... dies würde zumindest die 1 erklären denn hoch null ergibt ja per se 1 oder laufe ich mit diesem Gedankenansatz völlig ins Leere ich weiß ich weiß dies sind eigentlich die erweiterten Basics so to say wenn mir einer der Profis trotzdem mit einer Starthilfestellung im übertragenen Sinne unter die Arme greifen könnte.... Wie immer 10000 Dank euer Markus


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sonnenschein96
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-02-24

Hallo Markus, es gilt \[|\operatorname{sinc}(k\frac{\pi}{2})|=\frac{|\sin(k\frac{\pi}{2})|}{|k|\frac{\pi}{2}}.\] Wenn \(k\) gerade ist, ergibt dies \(0\), außer für \(k=0\), da ergibt dies \(1\). Wenn \(k\) ungerade ist, ergibt dies \(\frac{2}{|k|\pi}\). Schau Dir dazu die Werte \(\sin(k\frac{\pi}{2})\) mit ganzzahligem \(k\) an. Du erhältst also \(c_0=1\), \(c_k=0\) für gerade \(k\neq0\) und \(c_k=\frac{2}{|k|\pi}e^{-jk\frac{\pi}{2}}\) für ungerade \(k\). Nun setzt Du dies in \(y(t)=\sum_{k=-\infty}^\infty c_ke^{jk2\pi f_P t}\) ein und beachtest noch \(f_P=\frac{1}{T_P}=\frac{1}{2}\). Dies ergibt \[y(t)=1+\sum_{k=-\infty, k\text{ ungerade}}^\infty \frac{2}{|k|\pi}e^{-jk\frac{\pi}{2}}e^{jk\pi t}=1+\sum_{k=1,3,5,\ldots} \frac{4}{k\pi}\cos(k(\pi t-\frac{\pi}{2})).\] Edit: Hier das Bild für \(k\leq7\) (offenbar falsch, siehe nächster Beitrag): https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/52970_Falsche_Loesung.gif


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sonnenschein96
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  Beitrag No.2, eingetragen 2021-02-24

Die Musterlösung ist glaube ich falsch. Die Gleichung \(\arg(c_k)=-k\frac{\pi}{2}\) stimmt nicht. Es muss \(\arg(c_k)=-k\frac{\pi}{2}\) für \(|k|=1,5,9,\ldots\) und \(\arg(c_k)=-k\frac{\pi}{2}+\pi\) für \(|k|=3,7,11,\ldots\) sein. Für ungerade \(k\) sollte es dann \(c_k=\frac{2}{|k|\pi}e^{-jk\frac{\pi}{2}}\) für \(|k|=1,5,9,\ldots\) und \(c_k=\frac{2}{|k|\pi}e^{-j(k\frac{\pi}{2}-\pi)}\) für \(|k|=3,7,11,\ldots\) sein. Das Ergebnis ist dann $$ \begin{align*} y(t)&=1+\sum_{|k|=1,5,9,\ldots}\frac{2}{|k|\pi}e^{-jk\frac{\pi}{2}}e^{jk\pi t}+\sum_{|k|=3,7,11,\ldots}\frac{2}{|k|\pi}e^{-j(k\frac{\pi}{2}-\pi)}e^{jk\pi t}\\ &=1+\sum_{k=1,5,9,\ldots}\frac{4}{k\pi}\cos(k\pi t-k\frac{\pi}{2})+\sum_{k=3,7,11,\ldots}\frac{4}{k\pi}\cos(k\pi t-k\frac{\pi}{2}+\pi)\\ &=1+\sum_{k=1,3,5,\ldots}\frac{4}{k\pi}\sin(k\pi t). \end{align*} $$ Edit: Für jedes \(k>0\) wurde dabei jeweils der Summand mit dem für \(-k\) zusammengefasst und die Rechenregel \(e^{jx}+e^{-jx}=2\cos(x)\) verwendet. Weiter wurde \(\cos(y-\frac{\pi}{2}+2n\pi)=\sin(y)\) für ganzzahlige \(n\) benutzt. Edit: Hier das Bild für \(k\leq7\): https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/52970_Richtige_Loesung.gif


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marathon
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  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2021-02-25

hallo an Sonnenschein96 zuerst einmal super Dank für die Tolle Mühe besteht nicht auch die Möglichkeit es zuerst mit der klassischen Methode über Cosinus Uns Sinus zu knacken mit Cosinus für den Realteil und sinus für den Imaginär teil habe hie vor einigen Monaten eine Aufgabe gepostet wo ich allerdings in einem sehr sehr langwierigen Prozess mit Matroid Hilfe mich bei der Damaligen Aufgabe der Lösung annähern durfte. toll wäre es natürlich beide Varianten zu beherrschen bzw diese ineinander überführen zu können. die Aufage damals sah so aus Yilmatz eine Zufallsbegegbnung aus der bahn der in Stuttgart an der dortigen UNI Mathe studiert hat war damals so super nett mir diese Ausgabe im Detail aufzuschlüsseln hab ihn leider aus den Augen verloren danke soweit werde als versuchen auch den Weg mit sin und cos zu versuchen https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/43568_yilmatz.JPG https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/43568_yilmaz2.JPG https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/43568_yilmaz4.JPG https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/43568_Yilmaz5.JPG https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/43568_Yilmaz6.JPG


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marathon
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-02-25

by der eingefügten Bildserie von Yilmatz dem vormaligen Mathestudenten war das erste Bild natürlich eine andere eine ( Stochastik)Aufgabe betreffend Sorry immer diese Zerfahrenheit.... mfg Markus


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sonnenschein96
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  Beitrag No.5, eingetragen 2021-02-25

Sicherlich kannst Du dies auch mit \(\cos\) und \(\sin\) lösen. Die Koeffizienten sind wenn ich das richtig im Kopf habe dann für \(k\geq0\) \[a_k=\frac{2}{T_P}\int_0^{T_P}x(t)\cos(k\omega t)\,dt=\int_0^12\cos(k\pi t)\,dt\] und für \(k\geq1\) \[b_k=\frac{2}{T_P}\int_0^{T_P}x(t)\sin(k\omega t)\,dt=\int_0^12\sin(k\pi t)\,dt.\] Dies ergibt \(a_0=2\), \(a_k=0\) für \(k\geq1\), \(b_k=\frac{2}{k\pi}(1-\cos(k\pi))\). Letzteres ist gleich \(0\) für gerade \(k\) und gleich \(\frac{4}{k\pi}\) für ungerade \(k\). Die Fourier-Reihe ist dann \[y(t)=\frac{a_0}{2}+\sum_{k=1}^\infty a_k\cos(k\omega t)+\sum_{k=1}^\infty b_k\sin(k\omega t)=1+\sum_{k=1,3,5,\ldots} \frac{4}{k\pi}\sin(k\pi t).\] Edit: Wenn Du willst, dass die Fourier-Reihe tatsächlich punktweise gegen \(x\) konvergiert, dann musst Du \(x(t)=1\) für \(t\in\mathbb{Z}\) setzen. Siehe auch https://de.wikipedia.org/wiki/Dirichlet-Bedingung


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  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2021-02-26

und das ist natürlich in Anbetracht meiner nicht vorhandenen oder nur bescheiden vorhandenen Mathetiefenerkenntnis doch ziemlich kompakt für mich Noch eine Frage die Yilmaz Aufgabe wie würde da die Endlösung in der Euler Darstellung aussehen.Ich hoffe ich bin nicht zu unverschämt mit meinen Anfragen die bisher gewährter Hilfestellung ist schon super toll!!! https://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/43568_yilmatz.JPG MFG Markus


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  Beitrag No.7, eingetragen 2021-02-26

\quoteon(2021-02-26 17:40 - marathon in Beitrag No. 6) und das ist natürlich in Anbetracht meiner nicht vorhandenen oder nur bescheiden vorhandenen Mathetiefenerkenntnis doch ziemlich kompakt für mich \quoteoff Dann musst Du schon genauer sagen, an welcher Stelle Du etwas nicht verstehst. Ich habe nur elementare Rechenregeln benutzt, die man schon in der Schule lernt. Diese habe ich natürlich als bekannt vorausgesetzt. \quoteon(2021-02-26 17:40 - marathon in Beitrag No. 6) Noch eine Frage die Yilmaz Aufgabe wie würde da die Endlösung in der Euler Darstellung aussehen. \quoteoff Probier es doch mal selbst auszurechnen. Du musst einfach \[c_k=\frac{1}{T}\int_0^Tf(t)e^{-jk\omega t}\,dt\] für \(k\in\mathbb{Z}\) berechnen. Man kann auch die Koeffizienten \(a_k\) und \(b_k\) bzw. \(c_k\) ineinander umrechnen. Es gilt \[c_0=\frac{a_0}{2},\, c_k=\frac{1}{2}(a_k-jb_k) \,(\text{für }k>0),\, c_k=\frac{1}{2}(a_{-k}+jb_{-k}) \,(\text{für }k<0)\] bzw. \[a_k=c_k+c_{-k}\,(\text{für }k\geq0),\, b_k=j(c_k-c_{-k})\,(\text{für }k\geq1).\]


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marathon
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  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2021-03-05

\ Hallo hier noch einmal Markus leider erschließt sich mir die Umrechnung in der Euler Darstellung , oder besser gesagt einiges davon noch immer zumindest teilweise meinem Erkenntnisbereich.... Gut ohne irrsinnig ausgedehntes Parlando zum Kern das x^3*x^5= x^8 ist mit dem Gesetz Potenzen werden multipliziert indem man die Hochzahlen addiert ist natürlich super trivial aber wie genau wird bei dem doch zumindest für mein Level bedrohlich aussehenden Term der Aufgabe hantiert oder beinahe könnte man sagen jongliert.... 2/(abs(k)*\pi)*e^(-j*k*\pi/2)*e^(j*k*\pi*t) Addieren der Exponenten erbrächte 2/(abs(k)*\pi)*e^(-j*k*\pi/2+j*k*\pi*t)= 2/(abs(k)*\pi)*e^(jk\pi(-1*1/2+t)) viel weiter komme ich nicht.....( Leider) am Ende der Jongleurarbeit soll ja das erwünschte... 4/(k*\pi)*cos(k*p*t-k*\pi/2) entstehen aber die Auflösung mit der Cosinus und sinus Darstellung gelingt mir zumindest recht ordentlich aber hier komme ich in der Wiederholung ausgeführt da einige Zwischenschritte für mich nicht konkludent sind nicht auf das erwünschte... 4/(k*\pi)*cos(k*p*t-k*\pi/2)


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sonnenschein96
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  Beitrag No.9, eingetragen 2021-03-05

Deine Umformungen sind richtig. Ich habe Beitrag 2 editiert, dort steht jetzt wie man auf die Cosinus- und Sinus-Terme kommt.


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marathon hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.

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