Matroids Matheplanet Forum Index
Moderiert von Buri Gockel
Strukturen und Algebra » Gruppen » p-Sylowgruppen und Auflösbarkeit
Druckversion
Druckversion
Antworten
Antworten
Autor
Universität/Hochschule p-Sylowgruppen und Auflösbarkeit
Timethie
Junior Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 26.01.2021
Mitteilungen: 8
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2021-02-25


Hallöle an alle,

ich bereite mich derzeit mit alten Klausuraufgaben auf meine Klausur in Algebra vor und da kam mir folgende Aufgabe über den Weg, bei der meine ein paar Details unklar sind:

Seien $2 < p < q$ Primzahlen, $G$ eine Gruppe mit $\text{ord}(G) = p^2q^2$. Man zeige:
a.) $G$ besitzt nur eine $q$-Sylowgruppe.
b.) $G$ ist auflösbar.
c.) Ist $p$ kein Teiler von $q^2-1$, so ist $G$ sogar abelsch.

Bemerkung: Sie dürfen verwenden, dass Gruppen, deren Ordnung das Quadrat einer Primzahl ist, abelsch sind.



Bezüglich Teilaufgabe a.)
Ich weiß ich nicht, wie ich ausschließe, $s_q = p^2$ ist, wobei ich $s_q$ als die Anzahl der $q$-Sylowgruppen bezeichne.

Ich kam soweit, dass nach den Sylowsätzen $s_q \ | \ p^2q^2$ und wegen $s_q \equiv 1 \ \text{mod} \ q$ alle Vielfache von $q$ nicht beachtet werden müssen (also $s_q \in \{1,p,p^2\}$) und $s_q \neq p$, da sonst $p > q$ wäre. Also $s_q \in \{1,p^2\}$. Wie zeige ich jetzt noch, dass $s_q \neq p^2$?


Bezüglich Teilaufgabe b.)
Hier meine ich die Begründung gefunden zu haben, dass die $q$-Sylowgruppe (nennen wir sie $S_q$) ein Normalteiler von $G$ ist. Da nun $\text{ord}(G/S_q) = p^2$ und $S_q \cong \mathbb{Z}/q\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/q\mathbb{Z}$ gilt (Edit: Das stimmt nicht, das wurde mir jetzt klar. Aber es gilt $\text{ord}(S_q) = q^2$ und damit ist diese ebenfalls abelsch und auflösbar), sind beide Gruppen abelsch, damit auflösbar und damit ist auch $G$ auflösbar. Hier wäre nur meine Frage ob das so stimmt oder ob ich irgendetwas vergessen habe.


Bezüglich Teilaufgabe c.)
Hier habe ich eigentlich absolut keine Ahnung. Meine Idee war jetzt, dass man dann ähnlich wie davor argumentieren kann, dass es auch nur eine $p$-Sylowgruppe geben kann (weil hier nach Definition $s_p \neq q^2$) und dementsprechend alles weitere wie in a.) und b.) folgt. Also dann auch $S_p$ abelsch ist wegen $S_p \cong \mathbb{Z}/p\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ und $G/S_p$ ebenfalls abelsch ist. Ich weiß nur nicht, wie man hier dann weiter argumentiert oder ob dieses Wissen überhaupt hilft. Kann man vielleicht irgendwie folgern, dass $G \cong (\mathbb{Z}/q\mathbb{Z})^2 \times (\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^2$ und damit weitermachen?



Schonmal vielen Dank für die Hilfe. Dieses Forum hat mir bisher sehr geholfen :)



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Triceratops
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 28.04.2016
Mitteilungen: 5544
Herkunft: Berlin
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2021-02-25


b) und entsprechend auch einige der Ideen bei c) sind noch nicht richtig, denn auch $\IZ/q^2$ ist eine abelsche Gruppe der Ordnung $q^2$; die hast du nicht berücksichtigt. Aber das ist auch vollkommen irrelevant: Bei b) braucht man lediglich den Tipp aus der Aufgabenstellung, dass Gruppen von Primzahlquadratordnung abelsch sind. Die Klassifikation (also dass es genau zwei gibt) brauchst du (jedenfalls an der Stelle) nicht.

Zum Rest schreibe ich vielleicht später etwas.



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
helmetzer
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 14.10.2013
Mitteilungen: 1506
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2021-02-25


www.google.com/search?q=sylow+groups+p2q2

[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]


-----------------
Knappe Antworten sind gewollt und sollen nicht unhöflich sein. Wenn du nachfragst, kurz deinen Kenntnisstand schildern!



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Formellina
Neu Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 23.02.2021
Mitteilungen: 3
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2021-02-25


Ich stecke gerade auch mitten in den Vorbereitungen zur Algebra Klausur und danke jetzt schon mal für den tollen Support hier.



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Timethie hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Timethie wird per Mail über neue Antworten informiert.
Neues Thema [Neues Thema] Antworten [Antworten]    Druckversion [Druckversion]

 


Wechsel in ein anderes Forum:
 Suchen    
 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2021 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP that seems no longer to be maintained nor supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]