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Phoensie
Aktiv 
Dabei seit: 11.04.2020
Mitteilungen: 422
Herkunft: Muri AG, Schweiz
 | \(\begingroup\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}} % Natürliche Zahlen
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} % Ganze Zahlen
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} % Rationale Zahlen
\newcommand{\R}{\mathbb{R}} % Reelle Zahlen
\newcommand{\C}{\mathbb{C}} % Komplexe Zahlen
\newcommand{\ord}{\mathrm{ord}} % Gruppenordnung
\newcommand{\indep}{\perp \!\!\! \perp} % Stochastische Unabhängigkeit (Symbol)
\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} % Realteil
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} % Imaginärteil
\renewcommand{\d}{\operatorname{d}} % Differential-d
\)
Ich möchte gerne zeigen, dass die Abbildung
\[
\varphi: [0;1) \to S^1
\qquad,\qquad
\varphi(t) = (\cos(2 \pi t),\sin(2 \pi t))
\]
die das halboffene Einheitsintervall auf den Einheitskreis $S^1 \subset \R^2$ abbildet, surjektiv ist.
Ansatz.
- Falls $(x,y) \in S^1$ mit $y \geq 0$:
Dann ist $y = \sqrt{1-x^2}$ und mit $t:=\frac{1}{2\pi}\arccos(x) \in [0;1/2]$ gilt $\varphi(t)=(x,y)$.
- Falls $(x,y) \in S^1$ mit $y<0$:
Dann ist $y = -\sqrt{1-x^2}$. Gesucht ist $t \in (1/2;1)$ mit $\varphi(t)=(x,y)$.
Nun weiss ich nicht weiter. Mit $w:=\frac{1}{2\pi}\arcsin(x)$ erhält man $\varphi(w)=(|x|,y)$, was also für negative $x$ problematisch ist.
Habt ihr eine Idee? LG Phoensie\(\endgroup\)
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Diophant
Senior 
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 6550
Herkunft: Rosenfeld, BW
 |      Beitrag No.1, eingetragen 2021-02-25
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}}
\newcommand{\ea}{\end{aligned}}
\newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}}
\newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}
\newcommand{\bc}{\begin{cases}}
\newcommand{\ec}{\end{cases}}
\newcommand{\on}{\operatorname}
\newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo Phoensie,
muss das denn so kompliziert zugehen? Es ist ja schon klar, wie der Bildraum aussieht: das ist der Einheitskreis im \(\IR^2\).
Es reicht doch eigentlich aus, wenn du zeigen kannst, dass jeder Punkt auf \(S^1\) Koordinaten der Form \((\cos(2\pi t),\sin(2\pi t))\) besitzt. Und da hilft dir ein gewisser Pythagoras ja eigentlich schon weiter (der ja in deiner eigenen Überlegung auch drinsteckt). 🙂
Gruß, Diophant
[Verschoben aus Forum 'Analysis' in Forum 'Funktionen' von Diophant]\(\endgroup\)
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Triceratops
Aktiv
Dabei seit: 28.04.2016
Mitteilungen: 5553
Herkunft: Berlin
 |  Beitrag No.2, eingetragen 2021-02-25
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Als Ergänzung noch: nutze einfach aus, dass $\{\cos(2\pi t) : t \in [0,1[\} = [-1,+1]$.
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