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  Gleichmäßige Stetigkeit der Umkehrfunktion |
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lalala0000
Aktiv 
Dabei seit: 28.12.2020
Mitteilungen: 33
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Hallo liebe Community,
ist folgende Aussage wahr oder falsch:
Für eine stetige, bijektive FUnktion f : A → B(A, B ⊂ R) gelte | f(x1) −
f(x2) |< c | x1 − x2 | ∀x1, x2 ∈ A, mit einer Konstante c>0. Dann
ist die Umkehrfunktion gleichmäßig stetig.
Würde also aus der Lipschitzstetigkeit die gleichm. Stetigkeit der Umkehrfunktion folgen?
Ich habe einen Satz zur gleichm. Stetigkeit der Umkehrfkt. gefunden, der aber neben der Bedingung der Stetigkeit und der Bijektivität auch eine strenge Monotonie fordert, die meines Wissens nicht aus der Lipschitzstetigkeit folgt....
Ich wäre jedem, der mir hierzu einen Tipp geben könnte sehr dankbar!
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Diophant
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 |      Beitrag No.1, eingetragen 2021-02-25
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Hallo,
um die Umkehrbarkeit musst du dir hier doch keine Gedanken machen. Deine Funktion ist ja nach Voraussetzung bijektiv und stetig.
Kennst du die Formel für die Ableitung der Umkehrfunktion? Über die könnte man hier argumentieren. Denn was du letztendlich begründen musst ist ja, dass die Ableitung der Umkehrfunktion beschränkt ist.
Bringe das einmal mit der Lipschitz-Stetigkeit der Funktion f in Verbindung...
Nachtrag: das Durchgestrichene war ein Irrtum, sorry.
Gruß, Diophant
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sonnenschein96
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| Beitrag No.2, eingetragen 2021-02-25
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Hallo lalala0000,
2021-02-25 12:28 - lalala0000 im Themenstart schreibt:
Für eine stetige, bijektive FUnktion f : A → B(A, B ⊂ R) gelte | f(x1) −
f(x2) |< c | x1 − x2 | ∀x1, x2 ∈ A, mit einer Konstante c>0.
Für \(A\neq\emptyset\) kann es so eine Abbildung nicht geben, da Du für \(x_1=x_2\) die Ungleichung \(0<0\) erhältst. Schreibe also besser "\(\leq\)", das meintest Du wohl.
2021-02-25 12:47 - Diophant in Beitrag No. 1 schreibt:
Kennst du die Formel für die Ableitung der Umkehrfunktion? Über die könnte man hier argumentieren. Denn was du letztendlich begründen musst ist ja, dass die Ableitung der Umkehrfunktion beschränkt ist.
Mal abgesehen davon, dass die Abbildung gar nicht als differenzierbar vorausgesetzt wurde: Wie kommst Du darauf, dass die Ableitung der Umkehrfunktion (sofern sie existiert) beschränkt ist? Folgendes Beispiel widerlegt dies und zeigt auch, dass die ursprüngliche Aussage falsch ist:
\(f\colon(1,\infty)\to(0,1)\) definiert durch \(f(x)=\frac{1}{x}\) ist bijektiv und Lipschitz-stetig. Es gilt \(f^{-1}\colon (0,1)\to(1,\infty)\) mit \(f^{-1}(y)=\frac{1}{y}\) und diese Abbildung ist nicht gleichmäßig stetig.
2021-02-25 12:28 - lalala0000 im Themenstart schreibt:
Ich habe einen Satz zur gleichm. Stetigkeit der Umkehrfkt. gefunden, der aber neben der Bedingung der Stetigkeit und der Bijektivität auch eine strenge Monotonie fordert [...]
Obiges Beispiel ist streng monoton, das alleine reicht also nicht. Dein Satz war wahrscheinlich auf kompakten Intervallen formuliert.
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Diophant
Senior
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| Beitrag No.3, eingetragen 2021-02-25
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Hallo sonnenschein96,
2021-02-25 16:36 - sonnenschein96 in Beitrag No. 2 schreibt:
Mal abgesehen davon, dass die Abbildung gar nicht als differenzierbar vorausgesetzt wurde: Wie kommst Du darauf, dass die Ableitung der Umkehrfunktion (sofern sie existiert) beschränkt ist?...
Ja, da habe ich in der Erinnerung ein paar Dinge zu viel zusammengewürfelt. Es geht hier ja um lokale Lipschitz-Stetigkeit, von daher passt meine Grundidee hier schon einmal nicht. Ich bessere es oben mal noch nach.
Danke für den Hinweis!
Gruß, Diophant
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lalala0000
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| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-02-26
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