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Schulmathematik » Integralrechnung » Mantelflächen- vs. Volumenberechnung eines Rotationskörpers
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Schule J Mantelflächen- vs. Volumenberechnung eines Rotationskörpers
amirhossein
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2021-02-28


Guten Morgen,

folgende Frage beschäftigt mich seit einiger Zeit, vielleicht kann mir jemand dabei behilflich sein:

die Herleitung der Formeln für das Volumen und die Mantelfläche eines Rotationskörpers kann ich nachvollziehen. Nur was ich nicht verstehe, warum man bei der Volumenberechnung einen Zylinder annehmen darf und bei der Mantelflächenberechnung nicht (sondern die Bogenlänge bzw. die Tangente an dieser Stelle). In beiden Fällen geht das dx doch gegen null, wenn man den Körper in n->unendlich Teile unterteilt. Warum kann man bei der Mantelflächenberechnung nicht auch einen Zylinder annehmen?

Vielen Dank



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StefanVogel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2021-02-28


Hallo amirhossein,
analog zur Mantelflächenberechnung müsste man bei der Volumenberechnung den Rotationskörper in schmale Kegelstümpfe zerlegen. Doch da ist es so, dass deren Volumen annähernd gleich den Zylindern ist, in der Summe mit gegen Null gehender Abweichung. Bei der Mantelfläche funktioniert das nicht, das schräge Bogenstück kann man nicht durch eine achsenparallele Strecke ersetzen, sonst würde sich nicht die Bogenlänge sondern nur die Höhe ergeben. Das ist im Zweidimensionalen auch schon so. Den Flächeninhalt kann man durch ein- und umbeschriebene Rechtecke annähern (man muss keine Trapeze verwenden), bei der Definition der Bogenlänge muss man Tangentenstücke nehmen.

Viele Grüẞe,
  Stefan



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amirhossein
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-02-28


Hallo Stefan,

vielen Dank für die schnelle Antwort.

Da ich höchstwahrscheinlich zu einfach gestrickt bin und es noch immer nicht ganz verstanden habe, nochmal die Frage:
 Zitat:"Bei der Mantelfläche funktioniert das nicht, das schräge Bogenstück kann man nicht durch eine achsenparallele Strecke ersetzen, sonst würde sich nicht die Bogenlänge sondern nur die Höhe ergeben".

Genau das ist das, was ich nicht verstehe: wenn das delta x gegen dx und somit gegen null geht, geht doch auch in diesem Fall der "Fehler", der entstehen würde, wenn man nur die achsparallele Höhe statt des Bogens benutzt, gegen null (wie bei der Volumenberechnung, was ist da der Unterschied)?

Sorry, dass ich nochmal nachfrage, das zu verstehen ist mir sehr wichtig.

Vielen vielen Dank und Gruß

amir



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StefanVogel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2021-02-28


Wie schon gesagt, kannst du das auch schon im Zweidimensionalen betrachten. Bei der Flächenberechnung funktioniert Rechtecke verwenden statt Trapeze, bei der Bogenlänge funktionieren nur Tangentenstücke (ich mache noch eine Skizze dazu). Oder versuche selbst, die "Bogenlänge" (also den Umfang) eines Dreiecks mit achsparallelen Kurvenstücken anzunähern. Das ergibt für jede Seite nur die Ausdehnung in Koordinatenrichtung.



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2021-02-28


Hallo,

der Unterschied ist folgender: bei der Volumenberechung geht das Verhältnis aus den Volumina von Kegel- und Zylinderscheibe gegen 1. Manche Mathematiker sagen dann sogar: das Volumen der beiden infinitesimalen Scheiben ist letztendlich gleich.

Bei der Berechnung der Mantelfläche machst du ja folgendes: du betrachtest die Mantelflächen von Kegelstümpfen, die tangential an deinem Körper anliegen. Wenn man nun die Mantelfläche eines solchen Kegelstumpfs mit seinem Zylinder-Pendant vergleicht, werden diese beiden Flächen in einem bestimmten Verhältnis zueinander stehen, welches alleine vom Anstieg der Tangenten an der betrachteten Stelle abhängt. Und dieses Verhältnis bleibt gleich, egal, wie klein du die Elemente wählst. Also stehen auch noch die infinitesimalen Elemente in diesem Verhältnis und sind somit eben nicht 'letztendlich gleich'.

Daraus resultiert dann hier der Fehler, den man machen würde, wenn man die Kegelstumpfmäntel durch Zylindermäntel ersetzen würde.


Gruß, Diophant

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.2 begonnen.]

[Verschoben aus Forum 'Schulmathematik' in Forum 'Integralrechnung' von Diophant]



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amirhossein
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2021-02-28


Hallo Diophant,

jetzt ist der Groschen (oder Cent) gefallen.

Herzlichen Dank und Grüße Amir

Was für ein geniales Forum.



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amirhossein
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2021-02-28


Hallo Stefan,

danke auch für die zweite Erklärung. Hat mich auch weitergebracht.

Einen schönen Sonntag noch

Gruß Amir



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traveller
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2021-02-28


Bleiben wir mal im Zweidimensionalen und versuchen wir exakter zu arbeiten und betrachten anstatt der üblichen Balken Trapeze. Nehmen wir mal fünf Stützstellen $a<b<c<d<e$, welche jeweils $\Delta x$ auseinanderliegen. Dann ist die Summe der Trapezflächen
$$\frac{f(a)+f(b)}{2}\Delta x+\frac{f(b)+f(c)}{2}\Delta x+\frac{f(c)+f(d)}{2}\Delta x+\frac{f(d)+f(e)}{2}\Delta x\enspace .$$ Durch neu zusammenfassen erhalten wir
$$\frac{f(a)}{2}\Delta x+f(b)\Delta x+f(c)\Delta x+f(d)\Delta x+\frac{f(2)}{2}\Delta x\enspace ,$$ wir hätten also (abgesehen von den beiden Rändern) genauso die Balken benutzen können.

Bei der Bogenlänge ist eine entsprechende Umformung nicht möglich.

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.3 begonnen.]



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amirhossein
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2021-02-28


Hallo traveller,

jetzt sind auf jeden Fall  alle Unklarheiten beseitigt.

Vielen Dank und Gruß

Amir



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