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  Strukturmatrix bestimmen |
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S3bi
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Hallo zusammen,
in einer Aufgabe geht es darum die Strukturmatrix zu berechnen. Wir sind thematisch bei Skalarprodukten. Ich habe die Abbildung
\[\beta: V \times V \rightarrow \mathbb{R}, (f,g) \rightarrow \sum_{i=1}^n f(x_i)g(x_i) \]
mit \[n=4 x_1 =1, x_2=-1, x_3=2, x_4=0\]
Nun soll ich die Strukturmatrix \(\beta\) bzgl der Basis \({1,X,X^2,X^3}\) bestimmen.
Wie gehe ich da vor?
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Kezer
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Dabei seit: 04.10.2013
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 |      Beitrag No.1, eingetragen 2021-02-28
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\OO}{\mathcal{O}}
\newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}}\)
Hi,
was sagt eure Definition? Wie sehen die Einträge der Matrix aus?
(Außerdem solltest du angeben, dass $V = K[X]_{\leq 3}$ bei deiner Aufgabe ist. Kartesische Produkte in LaTeX schreibt man mit "\times".)
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The difference between the novice and the master is that the master has failed more times than the novice has tried. ~ Koro-Sensei\(\endgroup\)
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S3bi
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-02-28
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Also unsere Strukturmatrix hat die Eigenschaften:
\[ Die Abbildung
Mat{\mathcal{A}}: \beta \mapsto Mat_{\mathcal{A}}(\beta)\]
ist ein Isomorphismus von Vektorräumen.
Für $i_{\mathcal{A}}: Mat[n][1][K] \rightarrow V$ gilt
\[\beta(i_{\mathcal{A}}(x),i_{\mathcal{A}}(y)) = x^{T} \cdot Mat_{\mathcal{A}}(\beta) \cdot y.\]
Sei $\mathcal{A}'$ eine andere Basis von $V$. Dann gilt
\[Mat_{\mathcal{A}'}(\beta) = T^{T} Mat_{\mathcal{A}}(\beta)T\]
mit $T = Mat[A][A']{(id_{V})} \in GL_{n}(K)$.\]
Die Einträge in der Matrix sind symmetrisch
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Kezer
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| Beitrag No.3, eingetragen 2021-02-28
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\OO}{\mathcal{O}}
\newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}}\)
Das beantwortet nicht die Frage, die ich gestellt habe.
Ich wollte darauf hinaus (das steckt in deiner zweiten Zeile): Sei $b_1, \dots, b_n$ eine Basis von $V$ und $\beta :V \times V \to K$ eine Bilinearform. Der $(i,j)$-te Eintrag der assoziierten Matrix ist $\beta(b_i, b_j)$.
Du musst also nur die Definition einsetzen und ein paar Zahlen ausrechnen.
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S3bi
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| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-02-28
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Ah ja jetzt denke ich, dass ich es verstanden habe. Danke
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