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  Wahrscheinlichkeit für gleiche Initialen bei 20 Personen |
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ProfSnape
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Hi!
Folgende Aufgabenstellung:
In einer Abteilungsgruppe gibt es 20 Mitarbeiter.
Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit,
dass mindestens zwei Mitarbeiter dieselben Initialen aus Vor- und Nachnamen haben?
Ich würde folgendermaßen vorgehen:
Anzahl aller Möglichkeiten sei n = 26 * 26 = 676
Bzgl. für die Aufgabenstellung günstigen Fälle würde ich das Gegenereignis
betrachten, d.h. also Anzahl der Fälle, bei denen keiner der 20 Mitarbeiter dieselben Vor-und Nachnamen-Initialen, wie ein anderer Mitaerbeit hat (-> keine Kollision(en)).
Die Wahrscheinlichkeit bzgl. der Aufgabenstellung ermittele ich dann mittels der Gegenwahrscheinlichkeit.
Also A = 676 * 675 * ...* 657 und das Ergebnis mit 20! mutliplizieren,
weil ja die Reihenfolge eine Rolle spielt, also formal:
  
A = (676;20) * 20!
Gegenwahrscheinlichkeit:
\not\ P = ((676;20) * 20!) / 676^20 = 0.7529
=> gesuchte Wahrscheinlichkeit P = 1 - 0.7529 = 0.2471
Also die Wahrscheinlichkeit, dass in einer Gruppe von 20 Mitarbeitern mindestens zwei Mitarbeiter die selben Vor-und Nachnamen-Initialien haben
beträgt ca. 24,71%.
Mich interessiert nun, ob mein Vorgehen und das Resultat korrekt ist?
Zusatz:
Was wäre die Wahrscheinlichkeit, dass genau zwei der 20 Mitarbeiter die selben Initialien haben?
Einfach 676/676 * 1/676 ?
Lg
ProfSnape
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Diophant
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 |      Beitrag No.1, eingetragen 2021-03-01
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}}
\newcommand{\ea}{\end{aligned}}
\newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}}
\newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}
\newcommand{\bc}{\begin{cases}}
\newcommand{\ec}{\end{cases}}
\newcommand{\on}{\operatorname}
\newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo,
das entspricht ja dem guten alten Geburtstagsproblem und deine Vorgehensweise ist somit richtig (ich habe jetzt aber nicht nachgerechnet).
2021-03-01 13:22 - ProfSnape im Themenstart schreibt:
Zusatz:
Was wäre die Wahrscheinlichkeit, dass genau zwei der 20 Mitarbeiter die selben Initialien haben?
Einfach 676/676 * 1/676 ? \(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}}
\newcommand{\ea}{\end{aligned}}
\newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}}
\newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}
\newcommand{\bc}{\begin{cases}}
\newcommand{\ec}{\end{cases}}
\newcommand{\on}{\operatorname}
\newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Nein, hier wird es jetzt komplizierter. Fragst du das aus Interesse oder ist es Teil der Aufgabe?
Da könntest du das Problem nochmal für \(n=19\) betrachten und die Möglichkeiten zählen, die es gibt, so dass eine 20. Person die gleichen Initialen hat als die bereits ausgewählten 19 Personen.
Gruß, Diophant
\(\endgroup\)
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StrgAltEntf
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 | Beitrag No.2, eingetragen 2021-03-01
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2021-03-01 13:22 - ProfSnape im Themenstart schreibt:
Also die Wahrscheinlichkeit, dass in einer Gruppe von 20 Mitarbeitern mindestens zwei Mitarbeiter die selben Vor-und Nachnamen-Initialien haben
beträgt ca. 24,71%.
Hallo ProfSnape,
die Rechnung dürfte soweit richtig sein. Jedoch hast du nicht beachtet, dass die Initialen, die auftreten können, nicht gleich verteilt sind. (Auch nicht mit viel Wohlwollen.)
Die gesuchte W'keit dürfte also größer sein.
Quizfrage: Welche Romanfigur hat die Initialen QZ? 😃
[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]
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Diophant
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|  Beitrag No.3, eingetragen 2021-03-01
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2021-03-01 13:53 - StrgAltEntf in Beitrag No. 2 schreibt:
Quizfrage: Welche Romanfigur hat die Initialen QZ? 😃
Da bin ich auch überfragt. In der Welt von Professor Snape gäbe es immerhin jemand mit den Initialen QQ...
Gruß, Diophant
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StrgAltEntf
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| Beitrag No.4, eingetragen 2021-03-01
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2021-03-01 14:01 - Diophant in Beitrag No. 3 schreibt:
2021-03-01 13:53 - StrgAltEntf in Beitrag No. 2 schreibt:
Quizfrage: Welche Romanfigur hat die Initialen QZ? 😃
Da bin ich auch überfragt.
Tipp 1: Es ist ein deutscher Roman aus dem Jahre 1999
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ProfSnape
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| Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2021-03-02
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\(\endgroup\)\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}}
\newcommand{\ea}{\end{aligned}}
\newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}}
\newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}
\newcommand{\bc}{\begin{cases}}
\newcommand{\ec}{\end{cases}}
\newcommand{\on}{\operatorname}
\newcommand{\ds}{\displaystyle}\)2021-03-01 13:36 - Diophant in Beitrag No. 1 schreibt:
Hallo,
das entspricht ja dem guten alten Geburtstagsproblem und deine Vorgehensweise ist somit richtig (ich habe jetzt aber nicht nachgerechnet).
2021-03-01 13:22 - ProfSnape im Themenstart schreibt:
Zusatz:
Was wäre die Wahrscheinlichkeit, dass genau zwei der 20 Mitarbeiter die selben Initialien haben?
Einfach 676/676 * 1/676 ? \(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}}
\newcommand{\ea}{\end{aligned}}
\newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}}
\newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}
\newcommand{\bc}{\begin{cases}}
\newcommand{\ec}{\end{cases}}
\newcommand{\on}{\operatorname}
\newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Nein, hier wird es jetzt komplizierter. Fragst du das aus Interesse oder ist es Teil der Aufgabe?
Da könntest du das Problem nochmal für \(n=19\) betrachten und die Möglichkeiten zählen, die es gibt, so dass eine 20. Person die gleichen Initialen hat als die bereits ausgewählten 19 Personen.
Gruß, Diophant
\(\endgroup\)
Danke soweit^^
Bzgl. dem Zusatz:Nein,ist nicht Teil der Aufgabe - aus Interesse gefragt^^
Meinst du quasi:
P(keine Kollision bei 19 Personen) * 19/676
Bzgl. dem letztem Term: Da es ja für die 20te Person genau 19 Möglichkeiten gibt, eine Vor-Nachname-Initialie zu wählen, die schon
vorher von den 19 vorherigen Personen gewählt wurde...
Oder formal:
((676;19) * 19! * (19;1)) / 676^20
Würde ergeben: 0.7746 * 19/676 = 0.02177 -> ca. 2,177%
Hätte intuiv gedacht Chance wäre höher, wenn sie bei "mindestens zwei gleiche" fast 25% beträgt.
Frage mich daher, ob das so stimmen mag, d.h. meine Rechnung?
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ProfSnape
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| Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2021-03-02
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2021-03-01 13:53 - StrgAltEntf in Beitrag No. 2 schreibt:
2021-03-01 13:22 - ProfSnape im Themenstart schreibt:
Also die Wahrscheinlichkeit, dass in einer Gruppe von 20 Mitarbeitern mindestens zwei Mitarbeiter die selben Vor-und Nachnamen-Initialien haben
beträgt ca. 24,71%.
Hallo ProfSnape,
die Rechnung dürfte soweit richtig sein. Jedoch hast du nicht beachtet, dass die Initialen, die auftreten können, nicht gleich verteilt sind. (Auch nicht mit viel Wohlwollen.)
Die gesuchte W'keit dürfte also größer sein.
Quizfrage: Welche Romanfigur hat die Initialen QZ? 😃
[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]
@Gleichverteilt:
Das ist interessant und ich hab schon öfter versucht den Begriff "gleichverteilt" zu verstehen - bedeutet es nicht einfach, dass alle möglichen Einzelergebnisse bzw. Elementarereignisse mit der gleichen Wahrscheinlichkeit auftreten?
Ah, beim Schreiben merke ich evtl. auf was du hinauswillst:
Mir leuchtet gerade ein, dass es sicher nicht so viele Vor-Nachname-Kombos
mit den Buchstaben 'X' und 'Y' (Xaver Ypstein und nicht so viele mehr xD) geben wird,
wie mit den Buchstaben 'A' und 'E' (Anton Engelhardt...und zig mehr)... war das dein Grundgedanke?
Bei der Quizfrage muss ich leider auch passen 😁
Habe sogar mittels deinem weiterem Hinweis (deutscher Roman von 1999) gegoogelt, aber komme nicht drauf - bin auf die Auflösung gespannt xD
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Diophant
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| Beitrag No.7, eingetragen 2021-03-02
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Hallo,
2021-03-02 11:11 - ProfSnape in Beitrag No. 5 schreibt:
Meinst du quasi:
P(keine Kollision bei 19 Personen) * 19/676
Bzgl. dem letztem Term: Da es ja für die 20te Person genau 19 Möglichkeiten gibt, eine Vor-Nachname-Initialie zu wählen, die schon
vorher von den 19 vorherigen Personen gewählt wurde...
Oder formal:
((676;19) * 19! * (19;1)) / 676^20
Würde ergeben: 0.7746 * 19/676 = 0.02177 -> ca. 2,177%
Hätte intuiv gedacht Chance wäre höher, wenn sie bei "mindestens zwei gleiche" fast 25% beträgt.
Frage mich daher, ob das so stimmen mag, d.h. meine Rechnung?
Ja, das passt so. Und dass genau zweimal gleiche Initialen eine wesentlich kleinere Wahrscheinlichkeit haben als mindestens zweimal, sollte eigentlich einleuchten.
2021-03-02 11:19 - ProfSnape in Beitrag No. 6 schreibt:
Bei der Quizfrage muss ich leider auch passen 😁
Habe sogar mittels deinem weiterem Hinweis (deutscher Roman von 1999) gegoogelt, aber komme nicht drauf - bin auf die Auflösung gespannt xD
Bist du wenigstens auf den Namen deines (ehemaligen...) Kollegen mit den Initialen QQ gekommen? 😉
Gruß, Diophant
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ProfSnape
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| Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2021-03-02
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Super danke:)
Ja genau - also mir war klar, dass "genau 2" kleiner sein muss als "mindestens 2" - hab mich intuitiv nur bei dem Ausmaß verschätzt^^^
Und ja, wenn es um Bekannte des Meister geht, vergisst man nicht:
Quirinus Quirrell 😁
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StrgAltEntf
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| Beitrag No.9, eingetragen 2021-03-02
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2021-03-02 11:19 - ProfSnape in Beitrag No. 6 schreibt:
Ah, beim Schreiben merke ich evtl. auf was du hinauswillst:
Mir leuchtet gerade ein, dass es sicher nicht so viele Vor-Nachname-Kombos
mit den Buchstaben 'X' und 'Y' (Xaver Ypstein und nicht so viele mehr xD) geben wird,
wie mit den Buchstaben 'A' und 'E' (Anton Engelhardt...und zig mehr)... war das dein Grundgedanke?
Ja, natürlich. Man könnte das mal simulieren. Weiß jemand, wo man eine Liste mit sagen wir mal 10000 echten Vor-/Nachnamenpaaren herbekommt?
2021-03-02 11:19 - ProfSnape in Beitrag No. 6 schreibt:
Bei der Quizfrage muss ich leider auch passen 😁
Habe sogar mittels deinem weiterem Hinweis (deutscher Roman von 1999) gegoogelt, aber komme nicht drauf - bin auf die Auflösung gespannt xD
Tipp2
Es handelt sich um einen Fantasieroman
Tipp 3
Die Figur mit den Initialen QZ ist nicht die Hauptfigur. In der englischsprachigen Übersetzung des Romans hat sie die Initialen QU.
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.7 begonnen.]
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Diophant
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| Beitrag No.10, eingetragen 2021-03-02
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}}
\newcommand{\ea}{\end{aligned}}
\newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}}
\newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}
\newcommand{\bc}{\begin{cases}}
\newcommand{\ec}{\end{cases}}
\newcommand{\on}{\operatorname}
\newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo nochmal,
2021-03-02 11:33 - ProfSnape in Beitrag No. 8 schreibt:
Super danke:)
Ja genau - also mir war klar, dass "genau 2" kleiner sein muss als "mindestens 2" - hab mich intuitiv nur bei dem Ausmaß verschätzt^^^ \(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}}
\newcommand{\ea}{\end{aligned}}
\newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}}
\newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}
\newcommand{\bc}{\begin{cases}}
\newcommand{\ec}{\end{cases}}
\newcommand{\on}{\operatorname}
\newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Ja nun. Der ganze Problemkreis hier ist ja wie gesagt auch unter den Namen 'Geburtstagsproblem' bzw. 'Geburtstagsparadoxon' bekannt. Denn für größere \(n\) steigt ja die Wahrscheinlichkeit für eine Kollision rasch an (und das wird oftmals als paradox empfunden...). Der Klassiker sind ja wie gesagt Geburtstage und \(n=100\). Da hat man schon eine Wahrscheinlichkeit von sagenhaften 99,99997%.
PS: oben ist mir ein Fehler durchgerutscht. Für genau zwei Übereinstimmungen muss der Binomialkoeffizient \({20\choose 2}\) lauten und nicht \({19 \choose 1}\) wie bei dir oben.
Siehe dazu hier.
2021-03-02 11:33 - ProfSnape in Beitrag No. 8 schreibt:
Und ja, wenn es um Bekannte des Meister geht, vergisst man nicht:
Quirinus Quirrell 😁 \(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}}
\newcommand{\ea}{\end{aligned}}
\newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}}
\newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}
\newcommand{\bc}{\begin{cases}}
\newcommand{\ec}{\end{cases}}
\newcommand{\on}{\operatorname}
\newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
👍
Gruß, Diophant
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.8 begonnen.]\(\endgroup\)
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StrgAltEntf
Senior
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| Beitrag No.11, eingetragen 2021-03-02
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2021-03-01 13:53 - StrgAltEntf in Beitrag No. 2 schreibt:
Quizfrage: Welche Romanfigur hat die Initialen QZ? 😃
Noch niemand eine Idee? Die gesuchte Figur findet auch Erwähnung bei Wikipedia.
Tipp 4
Der Roman ist ein Spin-off einer Kindersendung auf ARD
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Bilbo
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 | Beitrag No.12, eingetragen 2021-03-02
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Ich musste auch googlen (obwohl ich das Buch sogar mal gelesen habe, aber wer merkt sich denn die ganzen Namen? 😄). Aber mit den Hinweisen war das jetzt ganz gut machbar:
Die Lösung lautet:
Aber mir hat aus einem verwandten Buch "Ojahnn Golgo van Fontheweg" noch besser gefallen. (Erkennt ihr, welche Persönlichkeit sich dahinter anagrammatisch verbirgt?) 😎
-----------------
Heilmagier der Drachengilde
Wohlordner des Universums
Rechner des Unberechenbaren
Navigator Irrlichts im Ozean der Rätsel
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StrgAltEntf
Senior
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| Beitrag No.13, eingetragen 2021-03-02
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2021-03-02 22:48 - Bilbo in Beitrag No. 12 schreibt:
Die Lösung lautet:
Bravo 👍
Gesucht war der Gallertprinz aus der 2364. Dimension. Aus: Die 13 1/2 Leben des Käpt'n Blaubär von Walter Moers.
Normalerweise bin ich ja auch ein Namenschnellvergesser - aber den konnte ich mir merken.
In der englischen Übersetzung heißt er übrigens Qwerty Uiop.
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ProfSnape
Aktiv
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Mitteilungen: 83
| Beitrag No.14, vom Themenstarter, eingetragen 2021-03-04
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\(\endgroup\)\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}}
\newcommand{\ea}{\end{aligned}}
\newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}}
\newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}
\newcommand{\bc}{\begin{cases}}
\newcommand{\ec}{\end{cases}}
\newcommand{\on}{\operatorname}
\newcommand{\ds}{\displaystyle}\)2021-03-02 11:53 - Diophant in Beitrag No. 10 schreibt:
Hallo nochmal,
2021-03-02 11:33 - ProfSnape in Beitrag No. 8 schreibt:
PS: oben ist mir ein Fehler durchgerutscht. Für genau zwei Übereinstimmungen muss der Binomialkoeffizient \({20\choose 2}\) lauten und nicht \({19 \choose 1}\) wie bei dir oben.
\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}}
\newcommand{\ea}{\end{aligned}}
\newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}}
\newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}
\newcommand{\bc}{\begin{cases}}
\newcommand{\ec}{\end{cases}}
\newcommand{\on}{\operatorname}
\newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
👍
Gruß, Diophant
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.8 begonnen.]\(\endgroup\)
Bei der letzten Stelle?
Also quasi dann:
((676;19) * 19! * (20;2)) / 676^20
Wieso das eigentlich?
Links ermitteln wir ja die ersten 19 kollisionsfreien Stellen.
Und die 20te und letzte Stelle kann eine der vorherigen 19 Möglichkeiten sein, daher * 19 bzw. * ("1 aus 19") - so hätte ich gedacht, aber scheinbar stimmt es nicht?
Wie würde man es intuitiv in Worten mit deinem Hinweis formulieren müssen?
Lg
ProfSnape
PS: @StrgAltEntf: Ah ok, ne hab das Buch leider nicht gelesen und wäre wohl ein Leben lang nicht drauf gekommen xD
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Diophant
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| Beitrag No.15, eingetragen 2021-03-04
|
Hallo,
2021-03-04 09:42 - ProfSnape in Beitrag No. 14 schreibt:
Wieso das eigentlich?
Links ermitteln wir ja die ersten 19 kollisionsfreien Stellen.
Und die 20te und letzte Stelle kann eine der vorherigen 19 Möglichkeiten sein, daher * 19 bzw. * ("1 aus 19") - so hätte ich gedacht, aber scheinbar stimmt es nicht?
Dazu hatte ich dir extra einen Link zu einer Stelle der Wikipedia-Seite zum Geburtstagsproblem gesetzt, wo das erklärt wird. Konntest du das nicht nachvollziehen?
Gruß, Diophant
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ProfSnape
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| Beitrag No.16, vom Themenstarter, eingetragen 2021-03-05
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2021-03-04 10:09 - Diophant in Beitrag No. 15 schreibt:
Hallo,
2021-03-04 09:42 - ProfSnape in Beitrag No. 14 schreibt:
Wieso das eigentlich?
Links ermitteln wir ja die ersten 19 kollisionsfreien Stellen.
Und die 20te und letzte Stelle kann eine der vorherigen 19 Möglichkeiten sein, daher * 19 bzw. * ("1 aus 19") - so hätte ich gedacht, aber scheinbar stimmt es nicht?
Dazu hatte ich dir extra einen Link zu einer Stelle der Wikipedia-Seite zum Geburtstagsproblem gesetzt, wo das erklärt wird. Konntest du das nicht nachvollziehen?
Gruß, Diophant
Ah sorry - hab den Link zwar kurz angeklickt, aber in Eile (ja, nicht optimal von meiner Seite aus...xD) nicht realisiert, dass es sich um die relevante Stelle handelt...
Ich hab mir nun die Stelle durchgelesen, aber nicht sicher, ob ich es auf unser Beispiel hier korrekt übertrage - ich würde einfach so vorgehen:
(676 * (20;2) * (675;18) * 18! ) / 676^20
Zur Erklärung in Worten:
Es gibt für eine doppelt-vorkommende Initiale 676 Möglichkeiten.
Zwei aus 20 Stellen, werden mit einer dieses Möglichkeiten bfüllt.
Dann gilt es noch die restlichen 18 Stellen mit den restlichen 675 möglichen unterschiedlichen Initialen zu befüllen, also:
675 * 674 * ... * 658.
Das ganze noch durch n = 676^20 dividieren, damit man auf die Wahrscheinlichkeit kommt.
Ergäbe ca. 0.217 = 21.7%
Passt das so?
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Diophant
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Herkunft: Rosenfeld, BW
| Beitrag No.17, eingetragen 2021-03-05
|
Hallo,
doch, jetzt passt es. Du hast es nur umständlicher notiert als es auf der verlinkten Wikipedia-Seite dargestellt ist. 😉
Gruß, Diophant
|
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ProfSnape
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Dabei seit: 12.10.2019
Mitteilungen: 83
| Beitrag No.18, vom Themenstarter, eingetragen 2021-03-05
|
2021-03-05 11:01 - Diophant in Beitrag No. 17 schreibt:
Hallo,
doch, jetzt passt es. Du hast es nur umständlicher notiert als es auf der verlinkten Wikipedia-Seite dargestellt ist. 😉
Gruß, Diophant
Ja, ich seh nun auch an welchen Stellen (z.B. ist ja n*(n-1)! = n!)
-> hab es nochmal vereinfacht umgeformt und es sollte denk ich nun passen,
kommt ja auch dasselbe Ergebnis rauß...den wiki-Beitrag bin ich auch nochmal durchgegangen und nun sind auch die vorherigen Unklarheiten geklärt - daher hab ich den Post oben leicht editiert - aber leider zu spät, d.h. hab nich gesehen, dass du schon geantwortet hast... (hab Seite nicht aktualisiert...xD) - nur damit keine Verwunderung entsteht^^
(20;2) * 676!/(657! * 676^20)
Ok, dann vielen Dank nochmal für die Hilfen :)
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