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Universität/Hochschule J Warum sind die Tschebyschev-Polynome eigentlich Polynome?
Radix
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  Themenstart: 2021-03-02

Hallo! Wenn die Tschebyschev-Polynome so definiert wurden: T_n(x):=cos(n*arccos(x)) | | | | | x\el\ intervall(-1,1) Was antwortet man dann auf die gefürchtete Zusatzfrage, warum das überhaupt Polynome sind? Es wird kein langatmiger Beweis erwartet, sondern eine kurze Begründung. Hat jemand eine Idee? Danke Radix


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Nuramon
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-03-02

\(\begingroup\)\(\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}} \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}} \newcommand{\opn}{\operatorname}\) Hallo, man kann $\cos(ny)$ als ein Polynom in $\cos(y)$ und $\sin(y)$ schreiben (z.B. durch wiederholte Anwendung von Additionstheoremen). Aufgrund der Symmetrie $\cos(ny) = \cos(-ny)$ kann man dieses Polynom so wählen, dass nur gerade Potenzen von $\sin(y)$ auftreten. Wegen $\sin^2(y) = 1-\cos^2(y)$ folgt, dass $\cos(ny)$ sogar ein Polynom in $\cos(y)$ ist. Für $y=\arccos(x), x\in[-1,1]$ folgt wegen $\cos(\arccos (x))= x$, dass $T_n(x)$ ein Polynom in $x$ ist.\(\endgroup\)


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Radix
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-03-02

Meine eigenen Überlegungen waren recht ähnlich. Der entscheidende Mosaikstein, der mir fehlt, ist aber: \quoteon(2021-03-02 17:59 - Nuramon in Beitrag No. 1) Aufgrund der Symmetrie $\cos(ny) = \cos(-ny)$ kann man dieses Polynom so wählen, dass nur gerade Potenzen von $\sin(y)$ auftreten. \quoteoff Kannst du das näher erläutern? Danke Radix


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Nuramon
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  Beitrag No.3, eingetragen 2021-03-02

\(\begingroup\)\(\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}} \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}} \newcommand{\opn}{\operatorname}\) Hilft dir die Gleichung $\cos (ny) = \frac 12(\cos(ny)+\cos(-ny))$ weiter?\(\endgroup\)


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Radix
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-03-02

Clever. Ich versuchte zu verhindern, dass die ungeraden Sinuspotenzen entstehen. Du hingegen zauberst sie im Nachhinein weg. Vielen Dank Radix


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Triceratops
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  Beitrag No.5, eingetragen 2021-03-04

Alternativ folgt das auch aus der Rekursionsformel $T_{n+1}(x)=2 x T_n(x) - T_{n-1}(x)$ (mit Anfangswerten $T_0(x)=1$, $T_1(x)=x$). Diese Beschreibung ist vielleicht ohnehin besser, weil hier keine Beschränkung auf $x \in [-1,1]$ nötig ist (bzw. ja $x$ sogar als formale Variable angesehen werden kann).


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