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Universität/Hochschule Nichtvollständiger Raum
servus1991
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2021-03-05


Hallo ,
meine Frage bezieht sich auf das Bild unter dem Linke www.facebook.com/groups/1444545162223088/permalink/4488773917800182
ich kann das Bild nicht hochladen.

Der Raum $C[-1,1]$ mit der Norm $\|\cdot\|_{1}$ ist nicht vollständig. Beispielsweise beilden die unten definierten Funktionen $\left(f_{k}\right)$ eine Cauchyfolge in $C[-1,1]$, die nicht in $C[-1,1]$ konvergiert.


 
auf dem Bild ist ein Intervall [-1,1] und da wird gezeichnet:
ein rechtwinkliges Dreieck ist doch nur im Intervall [0;1/k]. Im Intervall [-1;0] haben alle $(fk)$ dagegen konstant den Wert 1.

Warum ist $(fk)$ eine Cauchyfolge in $C[-1,1]$, die nicht in $C[-1,1]$ konvergiert.?
Ist es nicht richtig, dass der Grenzwert der Cauchyfolge in Bezug auf die Norm ||.||1  die  Nullfunktion ist und die Nullfunktion stetig auf/in  $C[-1,1]$ ist ?!!!!

ist meine folgende Selbst-Interpretation richtig?

mathematisch ausgedruckt ist der Grund dafür, warum diese folge eine Cauchyfolge ist:
$d\left(f_{m}, f_{n}\right)=\|f_{m}-f_{n}\|_{1}:=\int_{-1}^{1}|f_{m}-f_{n}| \mathrm{d} t  =|\frac{1}{m}-\frac{1}{n}|.2  \rightarrow 0 \text { für } m,n \rightarrow \infty$

Der Grenzwert ist $ \lim_{k\to\infty} f_{k}(t) =\lim_{k\to\infty} \frac{1}{k}=0 $ $\neq$ $f(0)= 1 $ , deswegen ist der Grenzwert nicht stetig und dementsprechend liegt nicht im $C[-1,1]$ und folglich ist der Raum $C[-1,1]$ nicht vollständig.

wenn wir den Grenzwert mittels der Norm $\|\|_{1}$ interpretieren möchten, Die $\|\|_{1}$ entspricht dem Integral auf dem Intervall [−1, 1]. aber geometrisch gesehen, das Integral entspricht dem Flächeninhalt unter der Kurve auf dem Intervall [−1, 1]. also der Flächeninthalt ist ein rechtwinkliges Dreieck mit Flächeninhalt $\frac{1}{k}$ und die konstante Gerade mit dem Wert 1. insgesamt $der Flächeninhalt =  \frac{1}{k} + 1 \rightarrow 1 \text { für } k \rightarrow \infty$. also das heißt, der Grenzwert ist ein Punkt und keine stetige Funktion in $C[-1,1]$. daraus folgt , dass  der Raum $C[-1,1]$ nicht vollständig ist.





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StefanVogel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2021-03-06


2021-03-05 14:32 - servus1991 im Themenstart schreibt:
Ist es nicht richtig, dass der Grenzwert der Cauchyfolge in Bezug auf die Norm ||.||1  die  Nullfunktion ist
Ja, der Grenzwert ist eine andere Funktion.

mathematisch ausgedruckt ist der Grund dafür, warum diese folge eine Cauchyfolge ist:
$d\left(f_{m}, f_{n}\right)=\|f_{m}-f_{n}\|_{1}:=\int_{-1}^{1}|f_{m}-f_{n}| \mathrm{d} t  =|\frac{1}{m}-\frac{1}{n}|.2  \rightarrow 0 \text { für } m,n \rightarrow \infty$

Ja.


Der Grenzwert ist $ \lim_{k\to\infty} f_{k}(t) =\lim_{k\to\infty} \frac{1}{k}=0 $ $\neq$ $f(0)= 1 $ , deswegen ist der Grenzwert nicht stetig und dementsprechend liegt nicht im $C[-1,1]$ und folglich ist der Raum $C[-1,1]$ nicht vollständig.

Ja, aber bis hierher nur bezüglich der punktweisen Konvergenz.


wenn wir den Grenzwert mittels der Norm $\|\|_{1}$ interpretieren möchten, Die $\|\|_{1}$ entspricht dem Integral auf dem Intervall [−1, 1]. aber geometrisch gesehen, das Integral entspricht dem Flächeninhalt unter der Kurve auf dem Intervall [−1, 1]. also der Flächeninthalt ist ein rechtwinkliges Dreieck mit Flächeninhalt $\frac{1}{k}$ und die konstante Gerade mit dem Wert 1. insgesamt $der Flächeninhalt =  \frac{1}{k} + 1 \rightarrow 1 \text { für } k \rightarrow \infty$. also das heißt, der Grenzwert ist ein Punkt und keine stetige Funktion in $C[-1,1]$.

Der Grenzwert ist nicht ein Punkt, sondern die gleiche Funktion \(f\) wie oben bei der punktweisen Konvergenz. Nur muss jetzt gezeigt werden, dass \(\|f_k-f\|_{1}\) gegen Null geht für \(k\) gegen unendlich. Dann ist \(f\) auch Grenzwert bezüglich \(\| \cdot \|_{1}\) und \(C[-1,1]\) nicht vollständig bezüglich \(\|\cdot\|_{1}\).

Viele Grüße,
  Stefan



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